ВсОА 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 13. XI.1 · Солнце в звездную полночь

• Да: две точки с координатами (+66.6°, –54°) и (–66.6°, +126°) (с окрестностями радиусом около 95 км за счет рефракции и углового радиуса Солнца).

О.С. Угольников

Каждый раз, когда звездное время в Орле составляет $0^{\text{ч}}$ (а это случается каждые звездные сутки, то есть не менее 366 раз в году), Солнце занимает различное положение на эклиптике. В любой другой точке Земли звездное время в эти моменты также будет одинаковым (хотя и не обязательно равным нулю), то есть положение далеких звезд и самой линии эклиптики будет одним и тем же. Солнце может быть над горизонтом в любой момент, только если сама эклиптика будет совпадать с горизонтом (или образовывать с ним очень маленький угол). Солнце будет видно чуть выше горизонта за счет явления атмосферной рефракции. Вблизи зенита при этом будет северный или южный полюс эклиптики. Подобная ситуация может быть в непосредственной близости от Северного полярного круга (широта $\varphi_1=+66.6^{\circ}$) при звездном времени $S_1=18^{\text{ч}}$ (в зените северный полюс эклиптики) и вблизи Южного полярного круга (широта $\varphi_2=-66.6^{\circ}$) при звездном времени $S_2=6^{\text{ч}}$.

Обозначим звездное время в Орле как $S_0$, долготу Орла – $\lambda_0$. В любой фиксированный момент звездное время увеличивается с долготой точки наблюдения. Отсюда получаем:

$\lambda_1 = \lambda_0 + (S_1 - S_0) = 20^{\text{ч}}24^{\text{м}}$ или 54° з.д.

$\lambda_2 = \lambda_0 + (S_2 - S_0) = 8^{\text{ч}}24^{\text{м}}$ или 126° в.д.

В итоге, мы получаем две точки с координатами (+66.6°, –54°), (–66.6°, +126°). Строго говоря, за счет атмосферной рефракции $r$ и видимых размеров Солнца $\rho$ условие задачи будет выполняться не только в этих точках, но и в их окрестностях радиусом 95 км, соответствующим дуге 0.85° (сумма величины рефракции у горизонта и углового радиуса Солнца, см. рис.). При таком удалении полюса эклиптики от зенита хотя бы верхний край Солнца останется видимым.