ВсОА 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 14. XI.2 · Побег от Солнца

• 2.4 m

  Радиус орбиты Земли увеличится на 2.4 метра за один год.

О.С. Угольников

Изменение массы Солнца происходит равномерно, одинаково для всех положений Земли. Следовательно, круговая орбита Земли не будет приобретать эксцентриситета, лишь медленно увеличивая свой радиус, фактически являясь очень туго закрученной спиралью. Медленно меняется не только радиус орбиты, но и скорость движения Земли по ней, причем она будет уменьшаться. Ситуация противоположна движению тела в поле тяжести в среде, оказывающей торможение, в результате которого тело приближается к центру тяжести и увеличивает скорость. В случае, описанном в условии задачи, уменьшение скорости будет обеспечиваться притяжением Солнца при удалении Земли от него.

Для кругового движения в поле тяжести тела с массой $M$ справедливо соотношение:

Здесь $R$ и $v$ – радиус орбиты и скорость движения тела по ней. На Землю будет действовать только сила притяжения, направленная к Солнцу. Поэтому будет справедлив закон сохранения момента импульса (или II закон Кеплера) для кругового движения:

Подставляя второе уравнение в первое, получаем:

Радиус орбиты Земли будет увеличиваться обратно пропорционально массе Солнца. Пусть за какое-то время $\Delta T$ Солнце потеряло массу $\Delta M$ (много меньшую самой массы Солнца $M$). Пользуясь формулами приближенного вычисления, получаем величину приращения радиуса орбиты:

За один год ($3.2\cdot 10^7$ секунд) Солнце «похудеет» на $3.2\cdot 10^{19}$ килограмм. Радиус орбиты Земли увеличится на 2.4 метра.