Съдържание

ВсОА 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 15. XI.3 · Соединение Венеры и Юпитера

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2013

XX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Орел, 2013 г. Теоретический тур и практический тур, 9, 10, 11 класс

Шапка листов с условиями

Министерство образования и науки Российской Федерации
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Орел, 2013 г.

Обложка сборника условий и решений

Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

г. Орел, 2013 г.

Выходные данные сборника

XX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Орел, 2013 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 40 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Планеты Венера и Юпитер вступают в соединение друг с другом, имея одинаковые экваториальные угловые размеры. Чему равно угловое расстояние между Венерой и Солнцем в этот момент? Орбиты Венеры, Земли и Юпитера считать круговыми и лежащими в одной плоскости.

Отговори

Решение

О.С. Угольников

Изобразим конфигурацию, описанную в условии задачи. Пусть $R_0$ , $R_1$ и $R_2$ – радиусы орбит Земли, Венеры и Юпитера, а $d_1$ и $d_2$ – расстояния от Земли до Венеры и Юпитера соответственно. Венера может находиться в одном из двух положений (1 и 2 на рисунке). Обозначив наблюдаемый угол между Венерой (и Юпитером) и Солнцем через $\gamma$ , запишем выражения теоремы косинусов:

R_1^2 = R_0^2 + d_1^2 - 2R_0d_1\cos\gamma,

R_2^2 = R_0^2 + d_2^2 - 2R_0d_2\cos\gamma.

Угловые диаметры Венеры и Юпитера совпадают, следовательно

\frac{d_2}{d_1} = \frac{r_2}{r_1} \equiv K.

Здесь $r_1$ и $r_2$ – экваториальные радиусы Венеры и Юпитера, а число $K$ составляет 11.8. Умножим первое из уравнений теоремы косинусов на $K$ и вычтем второе уравнение из первого:

KR_1^2 - R_2^2 = (K-1)R_0^2 + (K-K^2)d_1^2.

В результате,

d_1 = \sqrt{\frac{(K-1)R_0^2 - KR_1^2 + R_2^2}{K^2-K}} = 0.50\ \text{а.е.}

Две концентрические окружности (орбиты Венеры и Земли) с Солнцем в центре и дуга орбиты Юпитера справа. Отрезок R₀ соединяет Землю и Солнце, R₁ — Солнце и Венеру (1), R₂ — Солнце и Юпитер. Из Земли проведен луч к Юпитеру (d₂), пересекающий орбиту Венеры в точках «Венера (1)» (на расстоянии d₁) и «Венера (2)»; угол γ при Земле между направлениями на Солнце и на Венеру. Подписи: Земля, Солнце, Юпитер, Венера (1), Венера (2), d₁, d₂, R₀, R₁, R₂, γ.

Очевидно, Венера находится в положении (1) на рисунке, ближнем к Земле. Из первой формулы теоремы косинусов имеем

\gamma = \arccos\frac{R_0^2 + d_1^2 - R_1^2}{2R_0d_1} = 43^{\circ}.

Содержание сборника

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс	3
10 класс	8
11 класс	12

ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс	19
10 класс	26
11 класс	31

Оригинал в Архива: prob2013tepr.pdf · официални решения: psol2013tepr.pdf