ВсОА 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 17. XI.5 · Мигающие планеты

• Нептун.

О.С. Угольников

Как известно, в видимой области спектра планеты сами не излучают, а лишь отражают свет Солнца. Поэтому неудивительно, что их блеск в описанном в условии случае также начнет изменяться с похожим периодом. Однако наблюдаемые на Земле моменты максимумов блеска планет будут отличаться от моментов максимума блеска Солнца, так как время распространения сигнала по траектории «Солнце – внешняя планета – Земля» больше, чем по прямой линии от Солнца до Земли.

Максимумы будут совпадать, если разница времени распространения сигналов по двум траекториям окажется равной целому числу периодов. Свет от Солнца до Земли распространяется за время $a_0/c$, а по траектории «Солнце-планета-Земля» – за время $l/c$, где $a_0$ – расстояние от Земли до Солнца, а $l$ – длина траектории «Солнце-планета-Земля». Определим расстояние, которое свет проходит за один период:

$L_0 = cT =$ 2.25 млрд км = 15 а.е.

Разница во времени движения двух световых лучей к Земле должна быть $N\cdot T$, где $N$ – натуральное число. Тогда

Таким образом, путь пройденный лучом, отраженным от планеты может быть равен 16 а.е., 31 а.е., 46 а.е., 61 а.е. и т.д.

Считая орбиту Земли круговой, определим минимальную и максимальную длины траекторий для внешней планеты:

$l_{\text{MIN}} = 2a\,(1 - e) - 1;$

$l_{\text{MAX}} = 2a\,(1 + e) + 1;$

Здесь $a$ и $e$ – большая полуось и эксцентриситет орбиты планеты. Отметим, что в случае максимальной длины траектории планета будет в соединении с Солнцем и не будет видна. Однако, ее можно будет наблюдать в достаточно близкой конфигурации, с практически той же длиной траектории. Занесем величины длин траекторий в таблицу:

Сразу понятно, что этой планетой не могут быть Марс и Юпитер, для которых этот путь существенно короче 16 а.е. (для Юпитера, даже с учетом эксцентриситета его орбиты, путь не может быть более 11.9 а.е.). Не годятся на эту роль и Сатурн с Ураном, у которых также максимумы, видимые на Земле, не будут совпадать по времени с максимумами Солнца.

Остается последняя возможность – Нептун. Большая полуось его практически круговой орбиты составляет 30 а.е., а в афелии он удаляется от Солнца на 30.35 а.е. В этот момент он вполне может оказаться в 30.65 а.е. от Земли, удовлетворяя условию совпадения максимумов для $N=4$. При этом он не будет в соединении с Солнцем и сможет наблюдаться на земном небе. Итак, задача имеет единственный ответ – Нептун.