ВсОА 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4. IX.4 · Сквозь кольца Сатурна

• Эксцентриситет орбиты получается примерно 1.2: орбита не является эллиптической, апосатурния нет, и аппарат покинет окрестности Сатурна.

Е.Н. Фадеев

Как известно, из-за быстрого вращения планета Сатурн заметно сжата, ее полярный радиус на 10% меньше экваториального. Поэтому корабль мог пролетететь над полюсом на столь близком расстоянии от центра планеты. Он двигался относительно Сатурна по одному из конических сечений: эллипсу, параболе или гиперболе. Предположим, что корабль двигался по эллипсу. Кольца Сатурна расположены в плоскости его экватора. Поэтому в этом эллипсе нам известно расстояние перисатурния $r$ и фокальный параметр $p$ – длина отрезка, перпендикулярного большой оси эллипса, соединяющего фокус $\mathbf{F_1}$ с точкой эллипса $\mathbf{M}$.

Расстояние перисатурния $r$ есть $a(1-e)$, а расстояние от каждого из фокусов эллипса до его центра (точка $\mathbf{O}$) равно $ae$, где $a$ – большая полуось эллипса, $e$ – его эксцентриситет. Сумма расстояний от каждой точки эллипса до его фокусов равна $2a$. Это относится и к точке $\mathbf{M}$, в которой аппарат пролетел сквозь щель в кольцах:

Решая это уравнение, мы получаем:

Подставляя в качестве $p$ радиус щели Энке, получаем величину $e$, равную примерно 1.2. Таким образом, эта орбита не является эллиптической, и аппарат покинет окрестности Сатурна.