Съдържание

ВсОА 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 12. Теоретический тур, 10 класс. X.6. Распад скопления

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2014

XXI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Великий Новгород, 2014 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Выходные данные сборника решений

XXI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Великий Новгород, 2014 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 36 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Небольшое рассеянное звездное скопление состоит из 100 одинаковых звезд, не группирующихся в пары, и имеет радиус 1 пк. Через какое-то время скопление распадается, две его звезды образуют двойную систему, а остальные покидают область скопления по отдельности. Оцените расстояние между звездами в двойной системе. Начальные скорости звезд и их скорости после вылета из скопления считать малыми.

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

Мы пренебрегаем начальными скоростями звезд скопления, поэтому можно сразу сказать, что оно гравитационно связано, его полная энергия отрицательна. В некоторый момент времени его покидает одна из звезд. Для этого ей необходимо выйти из «потенциальной ямы» с энергией

E_1 = -\frac{G(N-1)M^2}{R}.

Здесь $N$ – число звезд в скоплении, $M$ – масса одной звезды, $R$ – характерное расстояние между звездами, которое можно считать равным радиусу скопления. Данная энергия есть потенциальная энергия взаимодействия покидающей скопление звезды с $(N-1)$ другими звездами. Следующей звезде будет немного проще покинуть скопление, в выражение для энергии $E_2$ будет стоять множитель $(N-2)$ . Здесь мы не учитываем возможное уменьшение размеров скопления после вылета звезд, так как оно будет энергетически компенсировано появлением у оставшихся звезд кинетической энергии. В итоге, чтобы скопление покинули все звезды, кроме двух, нужна энергия

E = \sum_{i=1}^{N-2}E_i = -\frac{GM^2}{R}\sum_{i=1}^{N-2}(N-i) \approx -\frac{GM^2N^2}{2R}.

Здесь мы учли, что число $N$ достаточно велико. То же выражение можно было получить, просто просуммировав величины потенциальной энергии попарного взаимодействия звезд, считая расстояния между ними равными $R$ . Дополнительной кинетической энергией, уносимой вылетающими звездами, мы по условию задачи пренебрегаем. Следовательно, именно такая отрицательная энергия $E$ должна характеризовать единственную двойную систему, оставшуюся на месте скопления. Мы вновь пренебрегли изначальными потенциальными энергиями двух звезд как много меньшими по модулю, чем энергия $E$ .

Предположим, что орбиты звезд в двойной системе круговые. Тогда полная энергия есть половина потенциальной энергии системы. Отсюда получаем выражение для потенциальной энергии:

E_P = -\frac{GM^2}{r} = 2E = -\frac{GM^2N^2}{R}.

Расстояние между звездами составит

r = \frac{R}{N^2} = 20\ \text{а.е.}

Бланк к задачам IX/X.1 и IX/X.3

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Бланк к задаче IX.2

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Оригинал в Архива: prob2014tepr.pdf · официални решения: psol2014tepr.pdf