ВсОА 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 17. Теоретический тур, 11 класс. XI.5. Два затмения подряд

• 6000 km

(О.С. Угольников)

Как известно, два солнечных затмения могут происходить с интервалом в один лунный месяц, если линия узлов орбиты Луны совпадет с линией Земля-Солнце посередине между этими новолуниями. В подавляющем большинстве случаев (а в модели круговых орбит Земли и Луны – всегда) эти затмения будут частными. Во время одного новолуния Луна будет располагаться севернее плоскости эклиптики, а во время другого – южнее плоскости эклиптики, поэтому затмения будут наблюдаться в разных полушариях Земли. В этой задаче нам нужно найти минимально возможное расстояние между областями видимости этих явлений.

Синодический период Луны $S$ составляет 29.53 дня. За это время Земля проходит в своем орбитальном движении дугу $\gamma$, равную 29.1°. Пусть положения Луны в оба новолуния симметричны относительно линии узлов, и во время этих новолуний Луна отстояла от линии узлов на угол $\gamma/2$. Пространственное расстояние от узла будет равно

Здесь мы учли, что угол $\gamma/2$ невелик, $L$ – радиус орбиты Луны.

Рассмотрим картину со стороны Солнца и учтем, что оно значительно дальше от Земли, нежели Луна. Минимальное расстояние между проекциями центров Земли и Луны составит

Это расстояние больше радиуса Земли, поэтому центральные солнечные затмения в такой конфигурации не наблюдаются. Но частные происходят, в чем можно убедиться, рассчитав радиус лунной полутени $p$ (рисунок справа):

Здесь $\rho$ – угловой радиус Солнца. Мы вновь учли, что расстояние до Солнца велико. Угловые радиусы Солнца и Луны в небе Земли можно считать одинаковыми, и $L\rho \approx r$.

Изобразим Землю и две проекции полутени в более крупном масштабе. Обратим внимание, что области видимости обоих затмений (выделены серым цветом) могут смещаться ближе к экватору за счет наклона самого экватора и лунной орбиты к плоскости эклиптике. Эффект будет максимальным, если оба фактора сложатся друг с другом. Это будет иметь место вблизи весеннего равноденствия у восходящего узла орбиты Луны (на рисунке) или вблизи осеннего равноденствия у нисходящего узла орбиты Луны. Найдем минимальную (по модулю) широту точки наблюдения затмений:

По прошествии лунного месяца точка наблюдения первого затмения A может оказаться на другой стороне терминатора Земли за счет ее вращения – вспомним, что синодический период Луны близок к полуцелому числу суток. Наблюдателю достаточно будет преодолеть путь X вдоль меридиана из точки A’ в точку B. Это соответствует дуге $2\varphi$, длина пути составит 6000 км.

Ситуация, близкая к описанной в этой задаче, случится 13 июля и 11 августа 2018 года. Области видимости частных солнечных затмений будут разделены расстоянием около 6500 км.