Съдържание

ВсОА 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 18. Теоретический тур, 11 класс. XI.6. Каталог Эйткена

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2014

XXI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Великий Новгород, 2014 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Выходные данные сборника решений

XXI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Великий Новгород, 2014 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 36 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

При составлении своего классического каталога двойных звезд американский астроном Роберт Грант Эйткен стремился отсеять оптические пары (звезды, не связанные друг с другом в пространстве), накладывая на двойные звезды ограничение:

\lg\rho < 2.8 - 0.2m.

Здесь $\rho$ – угловое расстояние между компонентами в угловых секундах, а $m$ – звездная величина более яркой из звезд. Оцените количество оптических двойных звезд с обеими компонентами ярче $6^{m}$ , которые все же могли попасть в каталог Эйткена. Считать, что 6000 звезд ярче $6^{m}$ распределены по небу случайным образом, а число звезд с видимой яркостью более $J$ пропорционально $J^{-3/2}$ .

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

По заданной формуле мы видим, что в каталог могли попасть звездные пары с угловым расстоянием меньше заданного, причем требование тем жестче, чем слабее звезда. Это имеет логическое объяснение: более яркие звезды, скорее всего, ближе, и там физические двойные звезды могут быть видны под большими углами.

Пусть некоторая звезда имеет блеск $m$ . Рассчитаем вероятность случайного появления другой звезды ярче $6^{m}$ на угловом расстоянии, не большим $\rho''$ . Последняя величина определяется формулой, заданной в условии. Определим, какую часть небесной сферы занимает окружность с радиусом $\rho''$ :

\sigma = \frac{\pi\cdot(\rho/206265)^2}{4\pi} = \frac{\rho^2}{1.7\cdot 10^{11}}.

Звезд ярче $6^{m}$ на небе 6000, и вероятность составляет

p = 6000\cdot\sigma = \frac{\rho^2}{2.8\cdot 10^{7}}.

Разделим все звезды на 6 групп по звездным величинам (ярче $1^{m}$ , от $1^{m}$ до $2^{m}$ и т.д., от $5^{m}$ до $6^{m}$ ). Число звезд ярче $6^{m}$ на небе 6000, число звезд ярче $5^{m}$ ( $N_0$ ) по условию задачи в $2.512^{1.5}$ , то есть в 4 раза меньше и равно 1500. Звезд от $5^{m}$ до $6^{m}$ на небе около 4500. Аналогичным образом, мы можем рассчитать количество звезд $N$ в каждой группе.

Предельная величина	$N_0$	$m_{\mathrm{av}}$	$N$	$\lg\rho$	$\rho''$	$p$	$N\cdot p$
1	6	0.5	6	2.7	501	0.008971	0.054
2	23	1.5	18	2.5	316	0.003571	0.063
3	94	2.5	70	2.3	200	0.001422	0.100
4	375	3.5	281	2.1	126	0.000566	0.159
5	1500	4.5	1125	1.9	79	0.000225	0.254
6	6000	5.5	4500	1.7	50	0.000090	0.404

Будем считать, что средняя величина $m_{\mathrm{av}}$ звезд каждой группы равна среднему между максимумом и минимумом ( $0.5^{m}$ для группы самых ярких звезд, $1.5^{m}$ , $2.5^{m}$ и т.д.). Исходя из этого, рассчитаем величину $\rho$ и вероятность случайного обнаружения другой звезды $p$ для этих групп. Произведение числа звезд и вероятности $N\cdot p$ есть среднее число оптических звезд в каталоге Эйкена, соответствующее каждой группе (отметим, что небольшое количество ярких пар может быть учтено дважды). Данные произведения также приведены в таблице. Проведя суммирование произведений для всех групп, получаем общее вероятное число оптических двойных ярче $6^{m}$ в каталоге Эйткена, оно равно 1.

Полученный ответ показывает обоснованность критерия, введенного при составлении каталога. Более жесткие требования будут лишь исключать из каталога физические двойные звезды, а смягчение критерия резко увеличит число оптических двойных. Нужно также учесть, что реальное число оптических двойных в каталоге Эйткена может быть больше вследствие неравномерности распределения звезд на небе с повышенной плотностью вблизи Млечного Пути.

Бланк к задачам IX/X.1 и IX/X.3

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Бланк к задаче IX.2

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Оригинал в Архива: prob2014tepr.pdf · официални решения: psol2014tepr.pdf