ВсОА 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 19. Практический тур, 9 класс. IX.1. Спутники Юпитера

• Рис. 1: Каллисто, Ио, Ганимед, Европа. Рис. 2: Ганимед, Европа, Ио, Каллисто. Рис. 3: Ио, Ганимед, Европа, Каллисто. Рис. 4: Ио, Европа, Ганимед, Каллисто.

(Е.Н. Фадеев; общее решение задач IX.1 и X.1)

Галилеевы спутники движутся по орбитам, близким к круговым, с малым наклонением к плоскости экватора Юпитера. На каждом из этих четырех рисунков спутники расположены не в порядке увеличения их радиусов орбит, а в зависимости от того, как они проектируются на картинную плоскость. Определим вначале, как далеко от Юпитера можно ожидать увидеть каждый из спутников. Выразив радиусы орбит в диаметрах Юпитера, получим, что радиус орбиты Ио равен 2.95, Европы – 4.7, Ганимеда – 7.5, Каллисто – 13.2. Проведем на рисунках прямые линии, ограничивающие движение этих спутников (на обороте).

В ближайшей к Юпитеру зоне, ограниченной вертикальными линиями, могут находиться все четыре спутника. В следующей зоне уже не может находиться Ио, но могут быть другие три спутника. В еще более удаленной зоне могут оказаться только Ганимед и Каллисто. В самую дальнюю область может попасть только Каллисто.

Из этого делаем вывод, что наиболее удаленный вправо спутник на рисунках 3 и 4 – Каллисто. Тогда вторым спутником справа на четвертом рисунке может быть только Ганимед. Обратим внимание, что на первом рисунке вблизи Юпитера есть только один спутник, который не может быть ни чем иным, как Ио.

Для дальнейших рассуждений надо привлечь данные о периодах обращения спутников. Заметим, что 4 дня соответствуют 0.55 орбитального периода Ганимеда. Поскольку на рисунке 4 Ганимед находится в элонгации, то на рисунке 2 он также должен быть вблизи элонгации, но по другую сторону от Юпитера. Получаем, что самый левый спутник на рисунке 2 – это Ганимед. Примерно в том же положении есть спутник на рисунке 1. Ганимед не может двое суток оставаться в элонгации. Делаем вывод, что это Каллисто.

Перемещение проекции спутников по картинной плоскости неравномерно: вблизи элонгаций они смещаются мало, поскольку направление скоростей спутников близко к нормали к картинной плоскости, а вблизи Юпитера, наоборот, спутники движутся параллельно картинной плоскости и их смещение будет линейно по времени. Рассуждая так, делаем вывод, что Каллисто на 2-м снимке должна находиться примерно посередине между своими положениями на рисунках 1 и 3, лишь слегка смещаясь вправо относительно этого положения. Точно в таком положении на рисунке 2 находится самый правый спутник. Тем самым определяем, что спутник, находящийся чуть левее Юпитера – Ио, а второй спутник слева – Европа.

Нам известны два положения ближайшего спутника Ио: на первом и на втором рисунках. За двое суток Ио совершает 1.1 оборота. Пока неизвестно, когда в какую сторону движутся спутники на этих рисунках. Ио может находиться на обоих рисунках как за Юпитером, так и перед ним. В обоих случаях на рисунке 3 он должен сместиться еще левее, что соответствует самому левому спутнику на этих рисунках. При этом, спутник не должен за эти двое суток достигнуть наибольшей элонгации, оставаясь с той же стороны от картинной плоскости, что и на предыдущих рисунках.

На последнем рисунке Ио уже после наибольшей элонгации. Второй слева спутник находится примерно на полпути к Юпитеру от точки максимальной элонгации. Это смещение сравнимо со смещением Ио между рисунками 2 и 3. Но, поскольку в районе наибольших элонгаций проекции спутников относительно Юпитера почти не движутся, то Ио – самый левый на изображении спутник, а второй слева – это Европа.

Европа за 2 дня проходит чуть более половины своей орбиты. Значит, на рисунке 3 она должна располагаться с противоположной стороны от Юпитера относительно ее положения на рисунке 4 (или на рисунке 2). Подходящий спутник только один – второй справа. Ганимед, соответственно, второй слева.

Осталось отождествить два правых спутника на первом рисунке. За 4 суток Европа совершает 1.1 оборота. Возьмем положение Европы на рисунке 3 и рассчитаем, где она должна быть на рисунке 1. Для этого построим чертеж. Здесь $x$ и $y$ – положения спутника в два момента времени, $r$ – радиус орбиты спутника, $\alpha$ – дуга орбиты, которую спутник пройдет за это время, $\beta$ – угол, характеризующий положение Европы на рисунке 3. Получаем формулы:

В нашем случае $x/r = 0.35$, $\beta \sim \pm 50^{\circ}$. Зная орбитальный период Европы, получаем $\alpha \sim \pm 40^{\circ}$. Разница между этими углами составляет 10° либо 90°. Второй вариант можно сразу отбросить, так как в этом случае Европа на рисунке 1 не была бы видна. А в первом случае Европа на рисунке 1 должна находиться вблизи наибольшей элонгации, что соответствует самому правому спутнику.

Окончательный ответ:

Рис. 1: Каллисто, Ио, Ганимед, Европа. Рис. 2: Ганимед, Европа, Ио, Каллисто. Рис. 3: Ио, Ганимед, Европа, Каллисто. Рис. 4: Ио, Европа, Ганимед, Каллисто.

Ответ может быть виден также на диаграмме, на которую нанесены синусоиды, соответствующие положениям спутников в разные моменты времени. Отклонения положений спутников (прежде всего, Каллисто) от этих кривых связаны с наклоном орбит спутников к плоскости экватора Юпитера.