Съдържание

ВсОА 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 15. Теоретический тур, 11 класс. XI.3. Планета и скопление

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2015

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Великий Новгород, 2015 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс) · 6 април 2015 г.

Выходные данные сборника решений

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Великий Новгород, 6-12 апреля 2015 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 48 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Орбита планеты Венера наклонена к плоскости эклиптики на угол 3.4°, долгота восходящего узла равна 77°. Шаровое звездное скопление M19 в созвездии Змееносца имеет эклиптические координаты: долгота 257°, широта –3.5°, угловой диаметр 14′. Может ли Венера (при наблюдении с Земли) пройти по этому скоплению? Орбиты планет считать круговыми.

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

Близость угла наклона орбиты Венеры к эклиптике и эклиптической широты скопления (по модулю) может наводить на мысль, что планета может в пределе пройти по скоплению, находясь на максимальном удалении от эклиптики. Однако, реальная ситуация сложнее, и для решения задачи нам необходимо учесть ориентацию орбиты Венеры в пространстве.

Известно, что в нижнем соединении, находясь на минимальном расстоянии от Земли, Венера может удаляться на небе на 8° от эклиптики. Но заметим, что эклиптическая долгота скопления на 180° отличается от долготы восходящего узла орбиты Венеры. То есть, если бы Венера и Земля одновременно оказались на гелиоцентрической долготе 77° (такое могло бы случиться в нижнем соединении в начале декабря), то мы бы стали свидетелями прохождения Венеры по диску Солнца, а скопление M19 оказалось позади Солнца и Венеры, находясь в 3.5° южнее них на небе. В этом случае говорить о возможном прохождении Венеры по скоплению не приходится. Рассмотрим другие возможные взаимные положения Венеры и Земли, при которых Венера окажется на небе рядом со скоплением (на той же эклиптической долготе). Для этого изобразим орбиты обеих планет, причем расположим сверху рисунка южный полюс эклиптики (так как скопление имеет отрицательную эклиптическую широту). Очевидно, что нас будет интересовать южная (по отношению к эклиптике) половина орбиты Венеры, так как именно на ней планета может подойти к M19 при наблюдении с Земли.

Перспективная схема орбит: большой эллипс – орбита Земли радиуса R, пунктирный эллипс – орбита Венеры радиуса r с Солнцем в центре; наклонная орбита Венеры; положения Земли 1, 2, 3 и соответствующие положения Венеры; вертикальные стрелки к скоплению «M 19»; угол α у Солнца, угол наклона i, высота h; стрелки направлений W и N; подписи «Солнце», «Венера», «Земля».

Так как угол наклона орбиты Венеры к эклиптике невелик, то проекцию орбиты на плоскость эклиптики можно считать окружностью с тем же радиусом. Пусть Земля и Венера находятся в каком-либо из положений 1, 2 или 3 так, что проекция отрезка между ними параллельна линии узлов орбиты. Продолжение этого отрезка за Венеру указывает на точку эклиптики с долготой 257°, находящуюся рядом с шаровым скоплением. Пусть Венера отстоит от узла орбиты на угол α. Тогда ее расстояние от плоскости эклиптики составит

h = r\,i\,\sin\alpha.

Здесь $r$ – радиус орбиты Венеры, $i$ – угол ее наклона к эклиптике, выраженный в радианах, мы вновь учли малость этого угла. Теперь определим расстояние между Землей и проекцией Венеры на плоскость эклиптики, для чего построим рисунок в плоскости эклиптики (вновь со стороны юга, внизу страницы).

В треугольнике «Солнце-Венера-Земля» нам известны две стороны и угол, не лежащий между ними (с вершиной в проекции Венеры, он равен $\pi - \alpha$ ). Запишем выражение теоремы косинусов:

R^2 = r^2 + d^2 - 2rd\cos(\pi - \alpha) = r^2 + d^2 + 2rd\cos\alpha.

Это квадратное уравнение имеет один положительный корень:

d = -r\cos\alpha + \sqrt{r^2\cos^2\alpha - r^2 + R^2} = \sqrt{R^2 - r^2\sin^2\alpha} - r\cos\alpha.

Модуль эклиптической широты Венеры при наблюдении с Земли составит

Схема в плоскости эклиптики: полуокружности орбит Венеры (радиус r) и Земли (радиус R) с Солнцем в центре на горизонтальной «Линии узлов»; точки «Венера» и «Земля» соединены горизонтальным отрезком d; угол α у Солнца, угол π–α у Венеры.

График зависимости b° (от 0 до 6) от α° (от 0 до 90): кривая растет от нуля, достигает максимума около 5.1° вблизи 54° и спадает до примерно 3.55° при 90°; горизонтальная линия на уровне 3.5°.

b = \frac{h}{d} = \frac{r\,i\sin\alpha}{\sqrt{R^2 - r^2\sin^2\alpha} - r\cos\alpha}.

Можно построить график величины $b$ для углов α от 0° до 90° (то есть для положений Венеры между нижним соединением и наибольшей восточной элонгацией.

Подробный анализ (не требующийся от участников олимпиады) показывает, что максимальная (по модулю) эклиптическая широта Венеры в этой области неба будет достигнута при

\alpha = \arccos\frac{r}{\sqrt{R^2 + r^2}} \approx 54^{\circ}

и составит

b_0 = \frac{i\,r\,R}{R^2 - r^2} \approx 5.1^{\circ}.

Мы видим, что величина $b$ может значительно превосходить по модулю эклиптическую широту скопления M19, и Венера может пройти по этому скоплению.

Приведенное выше решение является полным. Однако ответить на вопрос касаемо конкретного скопления M19 можно проще. Для этого достаточно рассмотреть только случай наибольшей восточной элонгации (положение 3 на рисунке слева сверху). Тогда угол α равен 90°, расстояние между Землей и Венерой вычисляется по теореме Пифагора:

d = \sqrt{R^2 - r^2}.

Модуль эклиптической широты Венеры будет равен

Схема в плоскости эклиптики для наибольшей восточной элонгации: полуокружности орбит с Солнцем на «Линии узлов»; «Венера» над Солнцем на вертикальном радиусе r, «Земля» на внешней окружности, отрезок d между ними горизонтален, отрезок R от Солнца к Земле.

b = \frac{h}{d} = \frac{r\,i}{\sqrt{R^2 - r^2}} = 3.55^{\circ}.

Учитывая угловой размер скопления (около 0.2°) сразу делаем вывод, что в случае наибольшей восточной элонгации на данной эклиптической долготе (это соответствует 20-м числам октября) прохождение Венеры по M19 обязательно произойдет. Более того, именно сейчас такие явления случаются регулярно. Венера прошла по краю M19 23 октября 2013 года, а еще через 8 лет, вечером 23 октября 2021 года, пройдет по его центру.

Звездная карта участка неба в созвездиях Змееносец и Скорпион (прямое восхождение от 17h 20m до 16h 48m, склонение от –24 до –28) с путем «Венера 2021» с отметками 22.10, 24.10, 26.10, проходящим через скопление M19; отмечены объекты NGC 6284, 6293, 6294, 6316, 6355, звезда θ, звезды с номерами; шкала звездных величин 5–9.

Бланк к задачам X.2 и X.3 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Бланк к задаче XI.2 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Оригинал в Архива: prob2015tepr.pdf · официални решения: psol2015tepr.pdf