Съдържание

ВсОА 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 16. Теоретический тур, 11 класс. XI.4. Межпланетный парусник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2015

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Великий Новгород, 2015 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс) · 6 април 2015 г.

Выходные данные сборника решений

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Великий Новгород, 6-12 апреля 2015 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 48 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Космический аппарат вывели на круговую околосолнечную орбиту с радиусом 1 а.е. После этого на нем был развернут солнечный парус, постоянно обращенный к Солнцу и уменьшающий эффективную силу его притяжения на 4%. В ходе дальнейшего движения этот парус мгновенно сворачивался, как только аппарат достигал афелия своей текущей орбиты, но вновь раскрывался в каждом перигелии. Сколько целых оборотов вокруг Солнца сделает этот аппарат? Какова его дальнейшая судьба? Взаимодействием аппарата со всеми телами, кроме Солнца и его фотонов, пренебречь.

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

Как известно, сила фотонного давления на солнечный парус, как и сила притяжения Солнца, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до него. Поэтому отношение двух сил при постоянной ориентации паруса к Солнцу будет постоянно, и эффективная сила притяжения при раскрытом парусе будет всегда составлять 24/25 от истинной силы притяжения Солнца.

Пусть после $n$ оборотов, на каждом из которых парус сначала разворачивался в перигелии, а затем сворачивался в афелии, аппарат движется по орбите с большой полуосью $a_{\mathrm{n}}$ и эксцентриситетом $e_{\mathrm{n}}$ (до первого раскрытия паруса $a_0$ =1 а.е. и $e_0$ =0). В точке перигелия расстояние аппарата от Солнца и его скорость составят

r_{\mathrm{n}} = a_{\mathrm{n}}\,(1 - e_{\mathrm{n}});

V_n = \sqrt{\frac{GM}{a_n}\cdot\frac{1+e_n}{1-e_n}} = \sqrt{\frac{GM}{r_n}\cdot(1+e_n)}.

В данной точке аппарат раскрывает парус, и его дальнейшее движение будет таким же, как оно было бы в поле тяжести звезды с массой $24M/25$ ( $M$ – масса Солнца). Очевидно, что данная точка будет перигелием и этой орбиты. Для новых параметров орбиты $A_{\mathrm{n+1}}$ и $E_{\mathrm{n+1}}$ справедливы соотношения:

r_{\mathrm{n}} = A_{\mathrm{n+1}}\,(1 - E_{\mathrm{n+1}});

V_n = \sqrt{\frac{24GM}{25A_{n+1}}\cdot\frac{1+E_{n+1}}{1-E_{n+1}}} = \sqrt{\frac{24GM}{25r_n}\cdot(1+E_{n+1})}.

Сопоставляя все формулы, мы получаем:

\frac{24}{25}\cdot(1+E_{n+1}) = 1+e_n;\quad E_{n+1} = \frac{25e_n+1}{24}.

По новой траектории аппарату предстоит сделать половину оборота. Когда он достигнет афелия, его расстояние от Солнца и скорость будут равны:

R_{\mathrm{n+1}} = A_{\mathrm{n+1}}\,(1 + E_{\mathrm{n+1}});

v_{n+1} = \sqrt{\frac{24GM}{25A_{n+1}}\cdot\frac{1-E_{n+1}}{1+E_{n-1}}} = \sqrt{\frac{24GM}{25R_{n+1}}\cdot(1-E_{n+1})}.

В афелии парус сворачивается, и аппарат оказывается в обычном поле тяжести Солнца на орбите с большой полуосью $a_{\mathrm{n+1}}$ и эксцентриситетом $e_{\mathrm{n+1}}$ . Для них справедливы соотношения:

R_{\mathrm{n+1}} = a_{\mathrm{n+1}}(1+e_{\mathrm{n+1}});

v_{n+1} = \sqrt{\frac{GM}{a_{n+1}}\cdot\frac{1-e_{n+1}}{1+e_{n-1}}} = \sqrt{\frac{GM}{R_{n+1}}\cdot(1-e_{n+1})}.

Отсюда мы можем получить:

\frac{24}{25}\cdot(1-E_{n+1}) = 1-e_{n+1};\quad e_{n+1} = \frac{24E_{n+1}+1}{25} = \frac{25e_n+2}{25} = e_n + \frac{2}{25} = e_n + 0.08.

Приращение эксцентриситета постоянно и не зависит от номера витка. С учетом $e_0$ =0, для траектории без паруса на витке $n$ мы имеем: $e_{\mathrm{n}}$ = $2n/25$ . Для витка с раскрытым парусом

E_n = \frac{25e_{n-1}+1}{24} = \frac{2n-1}{24}.

Аппарат сделает 12 полных оборотов вокруг Солнца с периодически раскрывающимся парусом. 13-й виток уже не будет замкнутым, так как представит из себя гиперболу с эксцентриситетом $E_{13}$ =25/24~1.04. Раскрыв парус в 13-й раз, аппарат покинет Солнечную систему.

Траектории аппарата: вложенные вытянутые эллипсы с общим перигелием у Солнца справа, пронумерованные 10, 11, 12; верхние половины подписаны «С парусом», нижние – «Без паруса»; виток 13 – разомкнутая ветвь со стрелкой, уходящая влево вверх.

В задаче можно учитывать эффект Пойнтинга-Робертсона, связанный с тормозящим ускорением от боковых фотонов на движущийся аппарат. Однако он будет очень мал, и уменьшение эксцентриситета на 13-м витке составит примерно 0.0002. Траектория все равно будет гиперболической.

Нужно также отметить, что с каждым новым витком у аппарата будет уменьшаться перигелийное расстояние. Однако, это не создаст проблем для его работы, так как расстояние в перигелии останется значительно больше радиуса Солнца. Чтобы доказать это, рассмотрим моменты перед раскрытием паруса в перигелии на $i$ -том витке и запишем формулировку закона сохранения момента импульса (который, безусловно, выполняется для аппарата, так как сила фотонного давления центральная и не создает вращательного момента):

mV_ir_i = mV_0a_0;

\sqrt{\frac{GM}{r_i}(1+e_i)}\cdot r_i = \sqrt{\frac{GM}{a_0}}\cdot a_0.

Здесь $m$ – масса аппарата. Отсюда можно записать выражение для перигелийного расстояния:

r_i = \frac{a_0}{1+e_i}.

На всех участках витков со свернутым парусом эксцентриситет не превышает единицу, и перигелийные расстояния будут не меньше 0.5 а.е, то есть аппарат будет всегда дальше от Солнца, чем Меркурий.

Описанный маневр является возможным средством разгона тел с фотонными парусами в поле тяжести звезд. Его суть в чем-то аналогична взмаху крыла птицы и состоит в том, что парус раскрыт, когда аппарат удаляется от Солнца. Тем самым, фотоны сообщают ему ускорение по ходу движения и совершают положительную работу. На другой половине витка парус сворачивается, и фотоны не оказывают тормозящее действие.

Бланк к задачам X.2 и X.3 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Бланк к задаче XI.2 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Оригинал в Архива: prob2015tepr.pdf · официални решения: psol2015tepr.pdf