ВсОА 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 17. Теоретический тур, 11 класс. XI.5. Тайминг пульсара

• Через $1.4\cdot 10^6$ импульсов, немногим более 16 дней

(Е.Н. Фадеев)

Радиопульсар – это вращающаяся нейтронная звезда, излучающая по принципу маяка: один раз за оборот луч, в котором распространяется излучение, попадает на Землю. Энергия вращения постепенно расходуется на излучение, вследствие чего вращение пульсара постепенно замедляется.

На первый взгляд кажется, что правильный ответ можно найти, разделив величину измеряемой задержки сигнала ($10^{-3}$ секунды) на скорость роста периода пульсара ($10^{-15}$). Получается $10^{12}$ секунд, что составляет почти 32 тыс. лет. Но это промежуток, за который сам период увеличивается на $10^{-3}$ секунды. Через такое время рост периода можно будет заметить, зарегистрировав всего два соседних импульса. В случае систематических наблюдений убедиться в замедлении пульсара можно будет существенно раньше.

Пусть $P_0$ – период радиопульсара в начальный момент времени, $\omega_0$ – угловая скорость вращения пульсара в момент открытия, $\dot\omega$ и $\dot P$ – скорость изменения периода и угловое ускорение соответственно, φ – угол поворота радиопульсара. Для этого угла можно записать уравнение:

Поскольку мы считаем пульсар неподвижным относительно наблюдателя, разности времен испускания и получения двух импульсов равны. Поделив обе части уравнения на 2π, мы получим его аналог, в котором вместо угла φ будет стоять число оборотов $k$, а вместо угловой скорости ω и скорости ее изменения – частота ν и скорость ее изменения:

Нам интересны моменты времени, соответствующие полным оборотам и целым значениям $k$. Пусть $k$ – число оборотов вокруг своей оси, совершенных пульсаром начиная с момента, которому соответствует угловая скорость $\omega_0$. Тогда для определения времени прихода $k$-го импульса надо решить квадратное уравнение

Решением этого уравнения будет

Решение со знаком “–” отрицательно, и мы его не рассматриваем. Если бы пульсар не замедлялся, то время прихода $k$-го импульса определялось бы как

В итоге, временная задержка прихода $k$-го импульса составит:

Это уравнение можно путем несложных преобразований свести к квадратному относительно $k$:

Решив это уравнение, получаем

Знак “–” под корнем не должен смущать, поскольку пульсар тормозится, и величина $\dot\nu$ отрицательна. Второе решение вновь не имеет физического смысла, поэтому мы его рассматривать не будем. Переходя от частот к периодам с учетом $P_0 = \nu_0^{-1}$, имеем:

Для заданной величины временной задержки $\Delta t_k$ получаем число $k$:

Таким образом, обнаружить изменение периода пульсара можно через $1.4\cdot 10^6$ импульсов, что составляет немногим более 16 дней.

Эту задачу можно решить и другими способами. Рассмотрим, например, как меняются моменты прихода импульсов из-за увеличения периода. Каждый раз новый импульс приходит чуть позже, чем ему следовало бы в случае постоянного периода. Вклад в разницу вносит задержка импульса не только в течение последнего периода, но и всего времени, накопленного в ходе наблюдений начиная с момента $t_0$. Именно поэтому мы замечаем изменение периода гораздо раньше, чем период сам изменится на требуемую величину.

Пусть, как и раньше, $t_k$ обозначает время прихода $k$-го импульса. Будем считать $t_0$=0. Тогда первый импульс придет в момент времени

второй импульс – в момент

третий импульс – в момент

и так далее. Величины $\Delta P_k$ – это разницы периодов в моменты $t_k$ и $t_{k-1}$. Строго говоря, они различны, но, в силу ничтожности различия в периодах в моменты приходов соседних импульсов, их можно считать равными. Тогда формула для момента прихода $k$-го импульса упрощается:

Задержка момента прихода есть

Задав требуемую задержку, получаем величину $k$:

что совпадает с полученным ранее соотношением.