Съдържание

ВсОА 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 18. Теоретический тур, 11 класс. XI.6. Холодное облако

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2015

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Великий Новгород, 2015 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс) · 6 април 2015 г.

Выходные данные сборника решений

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Великий Новгород, 6-12 апреля 2015 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 48 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Межзвездное облако состоит из молекулярного водорода (H $_2$ ) и пыли и имеет форму шара с однородным внутренним распределением массы. Блеск далеких звезд, расположенных за центром облака, ослаблен на $1^{\mathrm{m}}$ . При каком радиусе это облако начнет сжиматься под действием собственного тяготения, если его температура составляет 20K? Массовое соотношение газа и пыли в облаке постоянно и равно 100:1, черные пылинки имеют радиус 0.5 мкм, плотность 1 г/см $^3$ и ослабляют свет по законам геометрической оптики.

Отговори

Решение

(Н.Н. Шахворостова)

Основу массы облака составляет газ, прозрачный для излучения. Ослабление света происходит на пылевых частицах. Пусть $J_0$ и $J$ – величины потока излучения, входящего в облако и выходящего из него. Если облако только поглощает излучение и не излучает само, то эти величины связаны уравнением

J = J_0e^{-\tau},

где τ – оптическая толщина облака, которую можно трактовать как число частиц на пути луча света. Из закона Погсона известно, что

J = J_0 10^{0.4(m_0 - m)}.

Сравнивая эти выражения и принимая во внимание, что блеск звезд за облаком ослаблен на 1 $^{\mathrm{m}}$ , получаем, что среднее число частиц на пути света равно

\tau = \ln 2.512 \sim 1.

Обозначив радиус пылинок как $r$ , а радиус облака через $R$ , записываем выражение

2R\,n\,\pi r^2 = \tau.

Здесь $n$ – концентрация пылевых частиц. Отсюда мы выражаем массовую плотность пыли в облаке $\rho_{\mathrm{D}}$ и полную плотность ρ:

\rho_D = n\cdot\frac{4}{3}\rho_0\pi r^3;\quad \rho = K\rho_D = \frac{2K\tau\rho_0 r}{3R}.

Здесь $\rho_0$ – плотность одной пылинки, $K$ – соотношение массы газа и пыли в облаке (учитываем, что оно значительно больше единицы). Запишем формулу для круговой (первой космической) скорости на краю облака:

v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{\frac{4\pi G\rho}{3}}\cdot R = \sqrt{\frac{8\pi GK\tau\rho_0 rR}{9}}.

Коэффициент 8/9 близок к единице, и в дальнейших расчетах мы его опускаем. Облако перестанет быть устойчивым и начнет сжиматься, если характерные скорости частиц (молекул газа) станут меньше первой космической скорости. Среднеквадратичная скорость частицы равна

v_T = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3\Re T}{\mu}}.

Здесь $m$ – масса молекулы водорода, μ – молярная масса, $k$ – постоянная Больцмана, $\Re$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – температура. Отсюда получаем выражение для радиуса:

R \ge \frac{3\Re T}{\pi G\mu K\tau\rho_0 r} \approx \frac{\Re T}{G\mu K\tau\rho_0 r} = 2.5\cdot 10^{16}\ \mathrm{м} \approx 0.8\ \mathrm{пк}.

Бланк к задачам X.2 и X.3 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Бланк к задаче XI.2 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Оригинал в Архива: prob2015tepr.pdf · официални решения: psol2015tepr.pdf