Съдържание

ВсОА 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 19. Практический тур, 9 класс. IX.1. Ночное небо

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2015

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Великий Новгород, 2015 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс) · 6 април 2015 г.

Выходные данные сборника решений

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Великий Новгород, 6-12 апреля 2015 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 48 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Вам предоставлена фотография звездного неба вблизи северного полюса мира (автор – Александр Павлов), а также таблица с экваториальными координатами некоторых звезд. Определите время экспозиции и масштаб фотографии (в °/см).

Звезда	Прямое восхождение	Склонение	Звезда	Прямое восхождение	Склонение
β Cas	$00^{\mathrm{h}}\,09.2^{\mathrm{m}}$	+59°09′	γ UMa	$11^{\mathrm{h}}\,53.8^{\mathrm{m}}$	+53°42′
α Cas	$00^{\mathrm{h}}\,40.5^{\mathrm{m}}$	+56°32′	δ UMa	$12^{\mathrm{h}}\,15.4^{\mathrm{m}}$	+57°02′
γ Cas	$00^{\mathrm{h}}\,56.7^{\mathrm{m}}$	+60°43′	ε UMa	$12^{\mathrm{h}}\,54.0^{\mathrm{m}}$	+55°56′
δ Cas	$01^{\mathrm{h}}\,25.9^{\mathrm{m}}$	+60°14′	α CVn	$12^{\mathrm{h}}\,56.0^{\mathrm{m}}$	+38°19′
ε Cas	$01^{\mathrm{h}}\,54.4^{\mathrm{m}}$	+63°40′	ζ UMa	$13^{\mathrm{h}}\,23.9^{\mathrm{m}}$	+54°56′
α UMi	$02^{\mathrm{h}}\,31.8^{\mathrm{m}}$	+89°16′	η UMa	$13^{\mathrm{h}}\,47.5^{\mathrm{m}}$	+49°19′
β Per	$03^{\mathrm{h}}\,08.2^{\mathrm{m}}$	+40°57′	β UMi	$14^{\mathrm{h}}\,50.7^{\mathrm{m}}$	+74°09′
α Per	$03^{\mathrm{h}}\,24.3^{\mathrm{m}}$	+49°52′	γ UMi	$15^{\mathrm{h}}\,20.7^{\mathrm{m}}$	+71°50′
α Tau	$04^{\mathrm{h}}\,35.9^{\mathrm{m}}$	+16°31′	β Cyg	$19^{\mathrm{h}}\,30.7^{\mathrm{m}}$	+27°58′
β Ori	$05^{\mathrm{h}}\,14.5^{\mathrm{m}}$	–08°12′	δ Cyg	$19^{\mathrm{h}}\,45.0^{\mathrm{m}}$	+45°08′
γ Ori	$05^{\mathrm{h}}\,25.1^{\mathrm{m}}$	+06°21′	γ Cyg	$20^{\mathrm{h}}\,22.2^{\mathrm{m}}$	+40°15′
δ Ori	$05^{\mathrm{h}}\,32.0^{\mathrm{m}}$	–00°18′	α Cyg	$20^{\mathrm{h}}\,41.4^{\mathrm{m}}$	+45°17′
ε Ori	$05^{\mathrm{h}}\,36.2^{\mathrm{m}}$	–01°12′	ε Cyg	$20^{\mathrm{h}}\,46.2^{\mathrm{m}}$	+33°58′
α Ori	$05^{\mathrm{h}}\,55.2^{\mathrm{m}}$	+07°24′	α Cep	$21^{\mathrm{h}}\,18.6^{\mathrm{m}}$	+62°35′
α Gem	$07^{\mathrm{h}}\,34.6^{\mathrm{m}}$	+31°53′	β Cep	$21^{\mathrm{h}}\,28.7^{\mathrm{m}}$	+70°34′
β Gem	$07^{\mathrm{h}}\,45.3^{\mathrm{m}}$	+28°02′	ε Cep	$22^{\mathrm{h}}\,15.0^{\mathrm{m}}$	+57°03′
β UMa	$11^{\mathrm{h}}\,01.8^{\mathrm{m}}$	+56°23′	δ Cep	$22^{\mathrm{h}}\,29.2^{\mathrm{m}}$	+58°25′
α UMa	$11^{\mathrm{h}}\,03.7^{\mathrm{m}}$	+61°46′	γ Cep	$23^{\mathrm{h}}\,39.3^{\mathrm{m}}$	+77°38′

Цветная фотография ночного неба с длинной экспозицией: концентрические дуги звездных треков вокруг северного полюса мира в центре кадра; внизу – подсвеченные красным ветви дерева и кустарник, справа внизу – скалы на горизонте. — IX. 1

Отговори

Решение

(Е.Н. Фадеев)

Для определения масштаба фотографии необходимо отождествить треки звезд с реальными звездами на небе. Это может показаться затруднительным из-за того, что звезды выглядят не точками, а черточками. Если сразу очертания созвездий не угадываются, то надо соединять начала или концы треков ярких звезд линиями. Тогда легче увидеть контуры знакомых созвездий. Достаточно надежно отождествляются семь звезд Ковша Большой Медведицы, $\alpha^2$ Гончих псов или пяти звезд Кассиопеи. При некотором навыке можно найти и другие созвездия (Дракон, Цефей, Лебедь).

Если звезды не очень далеки на небесной сфере друг от друга, то расстояние между ними можно вычислить также, как и расстояние между двумя точками на плоскости. Но нужно учесть, что угловое расстояние между кругами склонений уменьшается как cos δ при приближении к полюсу мира. Одной стороной треугольника тогда будет часть круга склонения, а другой стороной – часть суточной параллели звезды. Но дуга суточной параллели со склонением $\delta_2$ будет короче соответствующей дуги суточной параллели со склонением $\delta_1$ . В одном случае мы получим заниженное расстояние между звездами, а в другом, напротив, завышенное. Чтобы получить более точное значение расстояния, можно взять среднее значение склонений звезд. Итого, искомая формула принимает вид

Негатив фотографии звездных треков вокруг северного полюса мира с нанесенными контурами созвездий и обозначениями звезд: «Гончие Псы» (α), «Большая Медведица» (α, β, γ, δ, ε, ζ, η), «Малая Медведица» (α, β, γ), «Цефей» (α, β, γ, δ), «Кассиопея», «Лебедь» (α, γ, δ, ε); внизу – ветви дерева и склон.

l = \sqrt{(\delta_2 - \delta_1)^2 + \left[(\alpha_2 - \alpha_1)\cos\left(\frac{\delta_1 + \delta_2}{2}\right)\right]^2}.

Здесь $\alpha_1$ , $\alpha_2$ , $\delta_1$ , $\delta_2$ – прямое восхождение и склонение звезд соответственно.

Нужно выбрать несколько пар звезд и сравнить угловые и линейные расстояния между ними. Не следует выбирать очень близкие звезды, поскольку при этом возрастает ошибка измерений, а также очень далекие, поскольку тогда угловое расстояние на небесной сфере нужно будет вычислять с помощью формул сферической тригонометрии. Разумеется, звезды не должны лежать по разные стороны от полюса мира. Также не следует использовать далеко расположенные звезды на краю кадра, поскольку там максимальна дисторсия камеры. Наиболее удачные пары – те, у которых близки какие-либо координаты: склонение или прямое восхождение.

Схема: два круга склонения и две суточные параллели образуют криволинейный четырехугольник; жирный отрезок соединяет точки (α1, δ1) и (α2, δ2).

В некотором приближении в качестве такой звездной пары можно взять Полярную звезду и какую-либо другую звезду в кадре. Считая, что Полярная звезда находится в полюсе мира, мы получаем величину углового расстояния:

\lambda = 90^{\circ} - \delta,

где δ – склонение второй звезды в паре. Чтобы точность измерения масштаба была выше и меньше зависела от удаления Полярной звезды от северного полюса мира, нужно взять вторую звезду, далекую от северного полюса мира.

Сделав несколько измерений и усреднив полученное значение, мы получим масштаб изображения $M$ , примерно равный 8.5°/см (при размере фотографии 15.1 см). Для достижения большей точности необходимо делать несколько измерений. Определяемый таким образом масштаб на этой фотографии немного варьируется от одной пары звезд к другой. Это следствие кривизны поля, всегда присутствующей на широкоугольных снимках.

Есть несколько способов определения времени экспозиции. В простейшем случае, надо выбрать трек какой-либо произвольной звезды, и посчитать размер угла, опирающегося на концы этого трека с вершиной в Полярной звезде. Этот угол равен примерно 12°. Значит, за время экспозиции звезда прошла 12/360 = 1/30 часть своего суточного пути. Экспозиция длилась 0.8 часа или 48 минут. Разумеется, измерений должно быть несколько, с последующим усреднением результата.

Можно также измерить длину трека какой-либо отождествленной звезды. Пусть она равна $X$ . Тогда угловая дина трека равна $MX$ . Это смещение соответствует изменению часового угла (то есть времени экспозиции) звезды на $MX$ /cos δ, где δ – склонение звезды.

Бланк к задачам X.2 и X.3 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Бланк к задаче XI.2 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Оригинал в Архива: prob2015tepr.pdf · официални решения: psol2015tepr.pdf