Съдържание

ВсОА 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 23. Практический тур, 10 класс. X.2. Марсианский локатор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2015

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Великий Новгород, 2015 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс) · 6 април 2015 г.

Выходные данные сборника решений

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Великий Новгород, 6-12 апреля 2015 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 48 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Ученые создали супер-мощную лазерную установку для локации поверхности Марса непосредственно с южного полюса Земли. Отметьте на рисунке (негатив) точку, в которую нужно направить лазерный луч, чтобы изучить область кратера Гюйгенс. Марс находится в великом противостоянии с Землей, на рисунке указаны южный полюс Марса и направление на северный полюс эклиптики в момент проведения эксперимента. Наклоном орбиты Марса к эклиптике пренебречь. Считать луч лазера очень узким, атмосферные помехи не учитывать. Орбиту Земли считать круговой.

Изображение диска Марса (негатив) с деталями поверхности; стрелка «Гюйгенс» указывает на кратер справа от центра; стрелка «Южный полюс Марса» указывает на темную полярную шапку у нижнего края; справа вверху отдельная стрелка вверх с подписью «Северный полюс эклиптики». — X.2

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

В момент великого противостояния Марс повернут к Земле своим дневным полушарием, причем к Солнцу и Земле обращен южный полюс планеты. Проведем диаметр через южный полюс Марса и центр его видимого диска. Обратим внимание, что эта линия оказывается параллельной направлению на Северный полюс эклиптики.

Кратер Гюйгенс располагается правее и немного выше середины диска Марса. С учетом того, что Марс обращен к Земле южным полюсом, можем сделать вывод, что Гюйгенс располагается вблизи экватора Марса. Он также расположен невдалеке от полуденной линии, и в момент эксперимента за счет осевого движения Марса будет двигаться практически перпендикулярно этой линии слева направо. Скорость этого движения будет равна

v = \frac{2\pi R}{T} = 240\ \text{м/с}.

Осевое вращение самой Земли на картину не влияет, так как локатор находится на южном полюсе Земли. Кроме этого, Марс движется в пространстве относительно Земли. В противостоянии это движение попятное и на рисунке оно тоже будет направлено слева направо. Так как мы пренебрегаем наклоном орбиты Марса к эклиптике, то это движение будет происходить перпендикулярно направлению на Северный полюс эклиптики, то есть вдоль той же самой линии, что и движение кратера Гюйгенс за счет осевого вращения Марса. Скорость этого движения есть разность орбитальных скоростей Земли и Марса. Учтем, что Марс находится в великом противостоянии, то есть в перигелии своей орбиты:

V = u_{\mathrm{E}} - u_{\mathrm{M}} = \sqrt{\frac{GM}{a_{\mathrm{E}}}} - \sqrt{\frac{GM}{a_{\mathrm{M}}}\cdot\frac{1+e}{1-e}} = u_{\mathrm{E}}\left(1 - \sqrt{\frac{a_{\mathrm{E}}}{a_{\mathrm{M}}}\cdot\frac{1+e}{1-e}}\right) = 3.3\ \text{км/с}.

Здесь $u_{\mathrm{E}}$ и $u_{\mathrm{M}}$ – орбитальные скорости Земли и Марса, $a_{\mathrm{E}}$ и $a_{\mathrm{M}}$ – большие полуоси орбит этих планет, $e$ – эксцентриситет орбиты Марса, $M$ – масса Солнца. Полученная скорость значительно больше, и именно орбитальное движение планет внесет основную поправку в смещение Марса за период локации. Определим время, за которое лазерный луч достигнет Марса:

\tau = \frac{a_{\mathrm{M}}(1-e) - a_{\mathrm{E}}}{c} = 190\ \text{сек.}

За это время кратер Гюйгенс сместится вправо на расстояние

L = (V + v)\,\tau = 670\ \text{км}

или 0.2 радиуса Марса. Учтем, что свет от Марса до Земли идет то же время, и в момент наблюдений он сам сместится на то же расстояние. В итоге, точка, в которую должен быть направлен лазерный импульс, смещена на расстояние $2L$ и помечена на рисунке крестиком.

Изображение диска Марса (позитив) с проведенными диаметром через южный полюс и перпендикулярной ему линией; стрелки с подписями «Гюйгенс», «Южный полюс Марса», справа стрелка «Северный полюс эклиптики»; правее кратера Гюйгенс на поперечной линии – крестик, отмечающий точку наведения лазера.

Бланк к задачам X.2 и X.3 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Бланк к задаче XI.2 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Оригинал в Архива: prob2015tepr.pdf · официални решения: psol2015tepr.pdf