Съдържание

ВсОА 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 25. Практический тур, 11 класс. XI.1. Весенние рассветы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2015

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Великий Новгород, 2015 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс) · 6 април 2015 г.

Выходные данные сборника решений

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Великий Новгород, 6-12 апреля 2015 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 48 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

В таблице приведены измеренные моменты восхода верхнего края Солнца (среднее солнечное время) в течение 21 дня в марте в пункте с широтой +60° на уровне моря. Указаны значения температуры и атмосферного давления в этот момент. Для моментов восхода также даются значения склонения центра Солнца и уравнения времени. Исходя из этого, получите эмпирическое выражение для величины атмосферной рефракции у горизонта в зависимости от температуры и давления. Угловой радиус Солнца считать постоянным (16′05″).

Дата	$T$ , °C	$P$ , мм.рт.ст.	Склонение Солнца, °	′	″	Уравнение времени, м	с	Момент восхода, ч	м	с
Март 8	–28	749	– 05	00	28	+ 10	55	06	36	52
9	–21	754	– 04	37	06	+ 10	40	06	34	16
10	–24	747	– 04	13	40	+ 10	25	06	31	10
11	–27	746	– 03	50	12	+ 10	10	06	28	01
12	–20	741	– 03	26	41	+ 09	54	06	25	29
13	–20	734	– 03	03	07	+ 09	38	06	22	32
14	–12	730	– 02	39	31	+ 09	21	06	20	01
15	–6	740	– 02	15	54	+ 09	05	06	17	18
16	–6	748	– 01	52	16	+ 08	48	06	14	13
17	+1	738	– 01	28	36	+ 08	32	06	11	41
18	–6	731	– 01	04	56	+ 08	15	06	08	19
19	–5	733	– 00	41	16	+ 07	57	06	05	19
20	–14	739	– 00	17	35	+ 07	39	06	01	43
21	–10	745	+ 00	06	04	+ 07	22	05	58	54
22	–5	746	+ 00	29	43	+ 07	04	05	56	09
23	–10	750	+ 00	53	21	+ 06	46	05	52	47
24	–8	760	+ 01	16	57	+ 06	28	05	49	48
25	–5	770	+ 01	40	31	+ 06	10	05	46	53
26	–10	766	+ 02	04	04	+ 05	52	05	43	34
27	–18	766	+ 02	27	33	+ 05	34	05	40	03
28	–10	766	+ 02	51	00	+ 05	15	05	37	29

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

Для того, чтобы получить требуемую формулу, нужно получить значения атмосферной рефракции у горизонта хотя бы в некоторые дни при разных давлениях и температурах. В таблице приведены моменты восхода верхнего края Солнца над горизонтом. В это время истинная высота центра Солнца над горизонтом отрицательна и составляет

h = -r - \rho.

Здесь ρ – угловой радиус Солнца, а $r$ – атмосферная рефракция у горизонта. Часовой угол Солнца τ связан со средним солнечным временем $t$ как

\tau = t - (12^{\text{ч}} + \eta).

Здесь η – уравнение времени, приведенное в таблице. Используя эти два соотношения, можно вычислить истинную высоту центра Солнца в момент видимого восхода его верхнего края с помощью формул сферической тригонометрии. Однако, существует более простой путь. Используем тот факт, что наблюдения проводились вблизи весеннего равноденствия, восход Солнца происходил вблизи точки востока. Изобразим участок неба вблизи этой точки (рисунок снизу).

Если бы Солнце находилось точно на небесном экваторе и не имело угловых размеров, а на Земле не было атмосферы, то восход наблюдался бы в момент $6^{\text{ч}} + \eta$ . В реальности, верхняя точка солнечного диска с часовым углом $-6^{\text{ч}}$ (точка B на рисунке) не совпадает с видимым горизонтом. Смещение времени момента восхода (отрезок AB по модулю), как видно из рисунка, составляет:

\Delta t = -\frac{r + \rho}{\cos\varphi} - \delta\,\mathrm{tg}\varphi.

Схема участка неба вблизи точки востока: горизонтальные линии «Мат. горизонт» и «Вид. горизонт», наклонная линия «Экватор» через точку «Восток»; параллельная ей линия суточного пути Солнца проходит через точку A (центр Солнца, кружок с подписью «Солнце») и точку B со стрелкой; отрезок δ от точки «Восток» до B, угол φ между суточным путем и вертикалью, вертикальные отрезки r и ρ.

Если склонение Солнца меньше нуля, то величина $\Delta t$ может быть и положительной (восход Солнца происходит позже $6^{\text{ч}} + \eta$ ). Отсюда мы получаем приближенное выражение для рефракции:

r = -\delta\sin\varphi - \Delta t\cos\varphi - \rho;

\Delta t = t_{\mathrm{B}} - (6^{\text{ч}} + \eta).

Здесь $t_{\mathrm{B}}$ – измеренное время восхода верхнего края Солнца. В таблице (на следующей странице) для каждого из 21 дней приведены значения рефракции у горизонта $r$ . Для сравнения даны истинные значения $r_0$ , полученные по формулам сферической тригонометрии (не требуется от участников). Мы видим, что указанная методика позволяет определить величину рефракции с точностью лучше 1′, а в интервале от 14 до 23 марта – с точностью лучше 0.1′.

Вообще говоря, для решения задачи нет необходимости вычислять значение рефракции для каждого из дней. Достаточно выделить характерные дни с равной температурой (давлением), чтобы определить зависимость рефракции от давления (температуры). При этом лучше выбирать дни ближе к равноденствию, когда точность вычисления величины $r$ лучше.

Обратим внимание на восходы Солнца 15, 16 и 18 марта, когда температура была одинакова (–6°C), а давление существенно различалось. Можно убедиться, что для них рефракция оказывается в точности пропорциональной давлению:

Дата	$T$ , °C	$P$ , мм рт. ст.	$r$ , ′	$r_0$ , ′
Март 8	–28	749	49.53	50.36
9	–21	754	46.94	47.57
10	–24	747	48.02	48.46
11	–27	746	49.43	49.72
12	–20	741	46.12	46.31
13	–20	734	45.76	45.88
14	–12	730	42.10	42.17
15	–6	740	40.08	40.12
16	–6	748	40.54	40.55
17	+1	738	36.95	36.95
18	–6	731	39.63	39.63
19	–5	733	39.30	39.30
20	–14	739	43.56	43.56
21	–10	745	42.16	42.15
22	–5	746	40.03	40.00
23	–10	750	42.51	42.43
24	–8	760	42.23	42.10
25	–5	770	41.50	41.29
26	–10	766	43.69	43.34
27	–18	766	47.50	46.97
28	–10	766	44.04	43.34

r\,(T = -6^{\circ}\,\mathrm{C}) = r_{760}\,\frac{P}{760\ \text{мм рт.ст.}};\quad r_{760}(T = -6^{\circ}\,\mathrm{C}) = 41.2'.

20 марта температура опустилась до –14°C. Записывая аналогичную зависимость $r(P)$ для этой температуры

r\,(T = -14^{\circ}\,\mathrm{C}) = r_{760}(T = -14^{\circ}\,\mathrm{C})\,\frac{P}{760\ \text{мм рт.ст.}},

с учетом давления в это утро (739 мм рт. ст.), получаем значение

r_{760}(T = -14^{\circ}\,\mathrm{C}) = r(P,T)\,\frac{760\ \text{мм рт.ст.}}{P} = 44.8'.

Обратим внимание на высокие значения рефракции при минусовых температурах. Будем считать, что величина $r_{760}$ линейно меняется с температурой (в реальности, это так только в узких интервалах температур):

\mathrm{r}_{760} = A + B\cdot T(^{\circ}\mathrm{C}).

Тогда, имея данные для температур $T_1$ и $T_2$ :

A = \frac{r_{760}(T_2)T_1 - r_{760}(T_1)T_2}{T_1 - T_2} = 38.5';

B = \frac{r_{760}(T_1) - r_{760}(T_2)}{T_1 - T_2} = -0.45'/^{\circ}\mathrm{C}.

Полная формула для рефракции в зависимости от температуры и давления имеет вид:

r\,(P,T) = (38.5' - 0.45'T(^{\circ}\,\mathrm{C}))\,\frac{P}{760\ \text{мм рт.ст.}}.

Бланк к задачам X.2 и X.3 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Бланк к задаче XI.2 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Оригинал в Архива: prob2015tepr.pdf · официални решения: psol2015tepr.pdf