Съдържание

ВсОА 2016, Летен сбор · теория (IOAA), дълги задачи — Задача 1. Звёздное трио

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2016

Летние учебно-тренировочные сборы по астрономии. Теоретический тур — IOAA. 28 июня – 12 июля 2016 года. Длинные задачи · 28 юни 2016 г.

Условие

Цивилизация, живущая на далёкой планете, построила и запустила устойчивый к высоким температурам звездолёт. Их целью было за одну экспедицию изучить сразу две близлежащие звезды. Траектория движения должна была выглядеть примерно так:

Треугольник с вершинами-звёздами 𝔐1 (слева), 𝔐2 (вверху справа) и 𝔐3 (внизу справа); стороны подписаны d12, d23, d31; вокруг треугольника проведена замкнутая траектория звездолёта со скруглёнными углами, огибающая звёзды снаружи. — Рис. 1: Инопланетяне обитают на планете около звезды с массой $\mathfrak{M}_1$ ; её большая полуось составляет 0.5 а.е.

Вам дан фрагмент звёздного каталога жителей этой планеты, в котором представлены прямые восхождения, склонения и параллаксы звёзд 2 и 3, все величины переведены в земные единицы, однако параллакс определён аналогично нашему для их системы.

№	$\alpha$	$\delta$	$\pi$
2	$12^h34^m$	$80^{\circ}12'$	$0.05''$
3	$8^h6^m$	$12^{\circ}27'$	$0.04''$

Считая, что прицельные расстояния пролёта мимо всех звёзд одинаковы и равны $q = 0.1$ а.е., а скорость звездолёта на бесконечности была бы $v_\infty = 70$ км/с:

a) Найдите расстояния $d_{12}$ , $d_{23}$ , $d_{31}$ и соответствующие им углы треугольника $\alpha_1$ , $\alpha_2$ , $\alpha_3$ .

b) Оцените время перелёта.

c) Оцените массы звёзд $\mathfrak{M}_1$ , $\mathfrak{M}_2$ и $\mathfrak{M}_3$ .

d) Выясните, к какой из звёзд аппарат приблизится сильнее всего и оцените это расстояние. Зацепит ли он её поверхность, если она лежит на главной последовательности?

Относительные движения звёзд не учитывать.

Отговори

Решение

a) В этом пункте надо просто перевести параллаксы в расстояния и решить треугольник. В формуле для расстояния в числителе вместо 1 будет 0.5, т.к. большая полуось планеты в 2 раза меньше земной:

\begin{aligned} d_{12} &= \frac{0.5}{\pi_2} = \frac{0.5}{0.05''} = 10\ \text{пк}\\ d_{31} &= \frac{0.5}{\pi_3} = \frac{0.5}{0.04''} = 12.5\ \text{пк}. \end{aligned}

Используя сферическую теорему косинусов, можно найти угол между звёздами 2 и 3 на небе первой:

\varphi_1 = \arccos(\sin\delta_2\sin\delta_3 + \cos\delta_2\cos\delta_3\cos(\alpha_1 - \alpha_2)) \approx 73^{\circ}54'.

Теперь с помощью обычной теоремы косинусов найдём $d_{23}$ :

d_{23} = \sqrt{d_{12}^2 + d_{31}^2 - 2d_{12}d_{31}\cos\varphi_1} \approx 13.7\ \text{пк}.

Оставшиеся два угла найдём с помощью теоремы синусов:

\begin{aligned} \frac{d_{31}}{\sin\varphi_2} &= \frac{d_{23}}{\sin\varphi_1} \quad\Rightarrow\quad \varphi_2 = \arcsin\left(d_{31}\frac{\sin\varphi_1}{d_{23}}\right) \approx 61^{\circ}14'.\\ \frac{d_{12}}{\sin\varphi_3} &= \frac{d_{23}}{\sin\varphi_1} \quad\Rightarrow\quad \varphi_3 = \arcsin\left(d_{12}\frac{\sin\varphi_1}{d_{23}}\right) \approx 44^{\circ}32'. \end{aligned}

b) На расстояниях порядка расстояний между звёздами для оценки можно считать, что гравитационный потенциал мал, и звездолёт движется равномерно и прямолинейно примерно с той же скоростью, что и на бесконечности. Вблизи звёзд его скорость резко возрастает, и он находится там не очень долго, поэтому для оценки продолжительности полёта с порядковой точностью этими моментами вполне допустимо пренебречь.

t \approx \frac{d_{12} + d_{23} + d_{31}}{v_\infty} \approx 5\cdot 10^5\ \text{лет}.

c) По тем же причинам, что и в предыдущем пункте, можно считать, что вблизи каждой из звёзд звездолёт движется по гиперболе. Необходимо связать массу звезды, скорость на бесконечности и прицельное расстояние между собой. Заметим, что прямоугольные треугольники $OAP$ и $O\mathfrak{M}H$ равны по гипотенузе и углу. Это значит, что $b = q$ . Значит,

\operatorname{tg}\frac{\varphi}{2} = \frac{b}{a} = \frac{q}{a}.

Выразим теперь большую полуось гиперболы через скорость. Запишем интеграл энергии:

v = \sqrt{G\mathfrak{M}\left(\frac{2}{r} + \frac{1}{a}\right)}.

При $r \to \infty$ скорость стремится к $v_\infty = \sqrt{\dfrac{G\mathfrak{M}}{a}} \quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{G\mathfrak{M}}{v_\infty^2} \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}\dfrac{\varphi}{2} = \dfrac{qv_\infty^2}{G\mathfrak{M}}$ , а значит,

\mathfrak{M} = \frac{qv_\infty^2}{G}\operatorname{ctg}\frac{\varphi}{2}.

Используя эту формулу, находим

\begin{aligned} \mathfrak{M}_1 &\approx 0.7\mathfrak{M}_\odot,\\ \mathfrak{M}_2 &\approx 0.9\mathfrak{M}_\odot,\\ \mathfrak{M}_3 &\approx 1.3\mathfrak{M}_\odot. \end{aligned}

Ветвь гиперболы, открытая вправо, с фокусом 𝔐 и асимптотами, пересекающимися в центре O; отмечены вершина P на оси O𝔐, точка A на асимптоте над P (отрезок AP перпендикулярен оси) и основание перпендикуляра H из 𝔐 на асимптоту. — Рис. 2: $O\mathfrak{M} = OA = c$ ; $AP = b$ ; $H\mathfrak{M} = q$ .

d) Мы уже обладаем почти всеми данными, которые нам нужны. Найдём эксцентриситет гиперболы $\varepsilon$ . Заметим, что

\varepsilon = \frac{c}{a} = \frac{OA}{OP} = \frac{1}{\cos\frac{\varphi}{2}}.

При этом перигелийное расстояние

\begin{aligned} p &= a(\varepsilon - 1) = q\operatorname{ctg}\frac{\varphi}{2}\left(\frac{1}{\cos\frac{\varphi}{2}} - 1\right) = q\cdot\frac{1 - \cos\frac{\varphi}{2}}{\sin\frac{\varphi}{2}} = \\ &= q\cdot\frac{1 - \dfrac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\varphi}{4}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\varphi}{4}}}{\dfrac{\operatorname{tg}\frac{\varphi}{4}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\varphi}{4}}} = q\operatorname{tg}\frac{\varphi}{4}. \end{aligned}

Значит, оно будет минимальным у третьей звезды, т.к. $\varphi_3$ минимален. Теперь несложно его посчитать:

p_3 = 0.1\cdot\operatorname{tg}\frac{44^{\circ}32'}{4} \approx 4.2R_\odot.

Учитывая, что третья звезда несколько тяжелее Солнца, звездолёт и правда пролетит очень близко к поверхности звезды! Её радиус можно оценить следующим образом:

R_3 \approx R_\odot\cdot\left(\frac{\mathfrak{M}}{\mathfrak{M}_\odot}\right)^{\frac{3.9}{5.2}} \approx 1.2R_\odot.

Значит, он вряд ли зацепит поверхность. Тем не менее, инопланетным инженерам явно пришлось хорошо постараться ☺.

Оригинал в Архива: IOAA-long_uslovia.pdf · официални решения: IOAA-long_reshenia.pdf