Съдържание

ВсОА 2016, Зимен сбор · теория — Задача 1. Приказ 66

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2016

Зимние учебно-тренировочные сборы по астрономии. Теоретический тур. 10 – 19 ноября 2016 года · 10 ноември 2016 г.

Условие

Преследуемый эскадрой штурмовиков, мастер Кота решил укрыться на планете Мрлсст системы Меннаалии (орбитальный период $T \simeq 60$ стандартных лет, эксцентриситет орбиты $e = 0.44$ ). Бортовая энергосистема его истребителя сильно пострадала в ходе погони, так что нам придётся помочь мастеру с расчётами.

a) Запишите соотношение между секториальной скоростью $\sigma$ и удельным моментом импульса $\vec{l}$ тела, находящегося в центральном поле.

b) Введите обозначение $\mu \equiv GM$ , где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса звезды Меннаалии. Запишите соотношение между удельным моментом импульса $\vec{l}$ , удельной механической энергией $E$ орбитального движения тела и эксцентриситетом $e$ его орбиты.

В момент, когда Мрлсст вступила в верхнее соединение с Меннаалии и находилась точно за её диском в апоцентре своей орбиты, Кота придал кораблю импульс такой, что его скорость $\vec{v}_0$ оказалась перпендикулярна направлению на звезду и равна параболической для астроцентрического расстояния $r_0$ , на котором корабль находился.

Мастеру повезло: угловые скорости истребителя и планеты относительно звезды оказались противоположно направленными, а орбиты — расположенными в одной плоскости. Через время $t$ , не превышающее трети $T$ , корабль совершил жёсткую посадку на Мрлсст при астроцентрическом расстоянии $r_1$ , равном большой полуоси орбиты планеты.

c) Найдите $t$ , пренебрегая гравитационным взаимодействием корабля и планеты.

d) Введите обозначение $k \equiv r_0/a$ . Найдите $k$ .

Отговори

Решение

Половина эллипса орбиты над большой осью; внутри закрашены секторы (площади, заметённые радиусами-векторами) и дуга параболы, выходящая из точки на оси и пересекающая эллипс в верхней точке.

a) $\sigma = |\vec{l}|/2$ ;

b) $e^2 = 1 + \dfrac{2l^2}{\mu^2}E$ ;

c) Второй закон Кеплера (см. рис.):

\frac{t}{T} = \frac{\frac14\pi a^2\sqrt{1-e^2} + \frac12 ea\cdot a\sqrt{1-e^2}}{\pi a^2\sqrt{1-e^2}} = \frac14 + \frac{e}{2\pi} \quad\Rightarrow\quad t = 0.32T \simeq \textbf{20 стд лет}.

d) Секториальные скорости планеты и корабля: $\sigma_1 = \dfrac12\sqrt{1-e^2}\cdot\sqrt{\mu a}$ , $\sigma_2 = \sqrt{\dfrac{k}{2}}\cdot\sqrt{\mu a}$ .

В точке встречи $t = A_1/\sigma_1 = A_2/\sigma_2$ , где $A_1$ и $A_2$ — площади, заметённые радиусами-векторами тел.

Для Мрлсст $A_1 = \dfrac14\pi a^2\sqrt{1-e^2} + \dfrac12 ea\cdot a\sqrt{1-e^2} = \left(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{e}{2}\right)a^2\sqrt{1-e^2}$ ; для истребителя (площадь куска параболы $\to$ интеграл):

A_2 = \left(1 - \frac13\right)pb^3 - \frac12 ea\cdot a\sqrt{1-e^2}, \quad \text{где}\ \ p = \frac{(e+k)a}{a^2\left(1-e^2\right)} \quad\Rightarrow\quad A_2 = \left(\frac{2k}{3} + \frac{e}{6}\right)a^2\sqrt{1-e^2}.

\frac{A_1}{\sigma_1} = \frac{A_2}{\sigma_2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\frac{\pi}{2} + e}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{\frac{2k}{3} + \frac{e}{6}}{\sqrt{k/2}} \quad\Rightarrow\quad \underbrace{\frac{3(\pi + 2e)}{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{1-e^2}}}_{\alpha}\sqrt{k} = k + \frac14 \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} k^2 + \left(\frac{e}{2} - \alpha^2\right)k + \frac{e^2}{16} = 0;\\ \alpha \simeq 2.3750;\\ k < 1 - e. \end{cases}

Окончательно $\mathbf{k \simeq 2.23\cdot 10^{-3}}$ .

Оригинал в Архива: Theory_-_problems.pdf · официални решения: Theory_-_solutions.pdf