ВсОА 2016, Зимен сбор · теория — Задача 5. О бедной L$_3$ замолвите слово!

• $x = R\left(1 - \frac{7}{12}\beta\right)$

Запишем условие равновесия тела, помещённого в начало отчёта: $\vec{0} = \dfrac{G\mathfrak{M}_1}{r_1^3}\vec{r}_1 + \dfrac{G\mathfrak{M}_2}{r_2^3}\vec{r}_2 - \omega^2\vec{c}$,

где $\omega^2 = \dfrac{G(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)}{R^3}$ — угловая скорость обращения системы, $\vec{c} = \dfrac{\mathfrak{M}_1\vec{r}_1 + \mathfrak{M}_2\vec{r}_2}{\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2}$ — вектор центра масс.

$\Rightarrow\quad \mathfrak{M}_1\vec{r}_1\left(r_1^{-3} - R^{-3}\right) + \mathfrak{M}_2\vec{r}_2\left(r_2^{-3} - R^{-3}\right) = \vec{0}$. Заменим $\vec{r}_1 \equiv R(1+\zeta)$, $\vec{r}_2 \equiv R(2+\zeta)$, $\mathfrak{M}_2/\mathfrak{M}_1 \equiv \beta$: