ВсОА 2023, Сбор 2 · теория — Задача 1. Перл творения

Q23S2T

Условие

Предположим, что ядерное звёздное скопление в центре Млечного Пути состоит из одинаковых звёзд, а распределение массы следует простому закону — так называемой модифицированной хаббловской модели с центральной плотностью ρ0\rho_0 и характерным пространственным масштабом aa:

ρ(r)=ρ0(1+r2a2)−3/2.\rho(r) = \rho_0 \left(1 + \frac{r^2}{a^2}\right)^{-3/2}.

a) Определите, какому закону в рамках рассматриваемой модели подчиняется распределение объектов в проекции на картинную плоскость (поверхностная плотность распределения).

b) Рассчитайте значение центральной плотности ρ0\rho_0, если современная оценка массы скопления составляет 1.8⋅107 M⊙1.8 \cdot 10^7\ \mathfrak{M}_{\odot}, а радиус половинной массы r50r_{50} равен 4.2 пк.

c) Как радиус rkr_k сферы, в которой заключены k %k\,\% массы скопления, связан с параметром k∈[0;100)k \in [0; 100) и величиной r50r_{50}? Выразите rkr_k в долях r50r_{50} для k∈{60;70;80;90;95;99}k \in \{60; 70; 80; 90; 95; 99\}.

d) Оцените характерную величину скорости объектов скопления.

Подсказка:

∫(1+x2b2)−3/2dx=x1+x2b2+const,\int \left(1 + \frac{x^2}{b^2}\right)^{-3/2} dx = \frac{x}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{b^2}}} + \mathrm{const},
∫x(1+x2b2)−3/2dx=−b21+x2b2+const,\int x \left(1 + \frac{x^2}{b^2}\right)^{-3/2} dx = -\frac{b^2}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{b^2}}} + \mathrm{const},
∫x2(1+x2b2)−3/2dx=b3⋅ln⁡(xb+x2b2+1)−b2x1+x2b2+const,\int x^2 \left(1 + \frac{x^2}{b^2}\right)^{-3/2} dx = b^3 \cdot \ln\left(\frac{x}{b} + \sqrt{\frac{x^2}{b^2} + 1}\right) - \frac{b^2 x}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{b^2}}} + \mathrm{const},
∫x3(1+x2b2)−3/2dx=b2⋅2b2+x21+x2b2+const.\int x^3 \left(1 + \frac{x^2}{b^2}\right)^{-3/2} dx = b^2 \cdot \frac{2b^2 + x^2}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{b^2}}} + \mathrm{const}.

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива няма официално решение на тази задача.

Оригинал в Архива: Q23S2T.pdf