ВсОА 2023, Сбор 2 · теория — Задача 4. Ипподром

Q23S2T

Условие

a) На плоскости заданы опорная прямая $L$ и кривая второго порядка $E$, являющаяся невырожденным коническим сечением. Определите геометрическое место точек $X$, обладающих следующим свойством: любая прямая $\lambda$, проходящая через точку $x \in X$, пересекает $L$ и $E$ каждую ровно в одной точке, не считая, быть может, самой точки $x$:

b) Рассмотрим кеплерово движение по эллипсу вокруг материальной точки $\Phi$ массой $\mathfrak{M}$ с орбитальным периодом $T$. Координатные оси $x$ и $y$ содержат соответственно большую и малую оси эллипса и пересекаются в его центре ($x = y = 0$), ось $z$ параллельна оси $y$ и проходит через точку апоцентра, в которой $z = 0$.

Каждому положению $A$ тела на орбите соответствует проекция $B$ на ось $z$, как показано на рисунке ниже. Найдите зависимость $\frac{dz}{dt}(x)$ скорости проекции по оси $z$ от абсциссы тела $x$.

Решение

---

Оригинал в Архива: Q23S2T.pdf