ВсОА 2024, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 7. 10 класс, 1

• В городах A и C высота звезды Y равна $84.8^{\circ}$ (зенитное расстояние $5.2^{\circ}$); азимут в A — $174^{\circ}$, в C — $234^{\circ}$ (или $-126^{\circ}$).

А.В. Ребриков

Решение. По условию задачи мы видим, что города A, B и С находятся близко друг другу в масштабах Земли, коль скоро одна и та же звезда одновременно находилась там вблизи зенита, всего в $z_{\mathrm{X}} = 3^{\circ}$ от него. Более того, города располагаются в умеренном поясе, вдали от полюсов. Тогда мы можем рассматривать треугольник ABC на плоскости. Отметим на нем же точку X, из которой звезда X в этот момент видна в зените. Эта точка будет равноудалена от вершин треугольника.

Нам известны астрономические азимуты звезды X при наблюдении из вершин треугольника. Азимут есть угол между направлением на юг и на проекцию звезды X на горизонт, то есть на точку X на рисунке, он отсчитывается против часовой стрелки. На примере пункта B на рисунке мы видим, что этот угол равен углу с вершиной в точке X от направления на север к направлению на пункт наблюдения (для точки B – угол $A_{\mathrm{B}}$). По условию задачи мы видим, что азимуты отличаются друг от друга на 120°. Таким образом, треугольник ABC – равносторонний, а точка X является его центром. Обозначим сторону этого треугольника как $l$.

Звезда Y в какой-то момент времени (не обязательно совпадающий с моментом, описанным для звезды X) оказывается в зените в пункте B, то есть точка проекции направления на звезду на плоскость рисунка Y совпадает с точкой B. Учитывая близость всех пунктов, мы можем записать, что зенитное расстояние $z_{\mathrm{Y}}$ этой звезды в точках A и C относится к зенитному расстоянию звезды X во всех трех пунктах $z_{\mathrm{X}}$ как длины соответствующих отрезков:

Здесь мы использовали известное свойство равностороннего треугольника. Отсюда мы имеем, что зенитное расстояние звезды Y в точках A и C равно 5.2°, и высота составляет 84.8°.

Аналогично сделанным выше рассуждениям, азимут звезды Y при наблюдении из точек A и C есть угол с вершиной в точке Y от направления на север к направлению на соответствующий пункт. Для города A мы видим, что этот угол равен

Для города C азимут звезды Y составит

Система оценивания.

1 этап – 2 балла. Обоснование, что три города образуют на поверхности Земли равносторонний треугольник. Если этот факт не указывается – этап не засчитывается, остальные оцениваются, исходя из их выполнения. Если данное утверждение делается без соответствующего обоснования – этап оценивается в 1 балл.

2 этап – 2 балла. Определение высоты звезды Y в пунктах A и В, точность 0.1°.

3 этап – 4 балла. Определение азимутов звезды Y в пунктах A и В (по 2 балла), точность 1°.

Максимальная оценка за решение задания – 8 баллов.