Съдържание

ВсОА 2024, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 8. 10 класс, 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2024

XXXI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, 2024 г. Региональный этап. · 8 т.

Условие

В текущий момент модуль разности гелиоцентрических долгот Земли и астероида составляет 90°. Сколько времени пройдет до западной квадратуры астероида, если текущее расстояние от Земли до астероида в 1.29 раза превышает расстояние между ними в момент квадратуры? Орбиты Земли и астероида считать круговыми и лежащими в одной плоскости, движение астероида происходит в том же направлении, что и движение Земли.

Отговори

Решение

А.В. Веселова

Решение. В условии не сказано напрямую, как именно относительно Земли расположен астероид – обгоняет или отстает в своем движении по орбите. Поэтому потребуется рассмотреть оба варианта расположения объектов.

Пусть $a$ – радиус орбиты астероида, $a_0$ – радиус земной орбиты. Рисунок построен в системе отсчета, вращающейся вместе с астероидом, то есть он там неподвижен, а Земля догоняет его в своем вращении. Пусть астероид обгоняет Землю (положение 1), тогда западная квадратура наступит вскоре по ходу синодического периода, до противостояния астероида.

Орбита Земли (малая окружность) с Солнцем в центре и дуга орбиты астероида (большая окружность). На малой окружности точки «Земля (1)» слева и «Земля (2)» справа на горизонтальном диаметре, отмечен радиус a₀; внизу на большой окружности точка «Астероид». Вертикальный отрезок a от Солнца к астероиду, отрезок r от Земли (2) к астероиду, отрезок l от точки на малой окружности к астероиду; угол γ при Солнце между направлением на Землю (1) и на эту точку.

Расстояние до астероида в момент, когда разность гелиоцентрических долгот, то есть угол с центром в Солнце между направлениями на Землю и астероид, равен 90°, вычисляем по теореме Пифагора:

r = \sqrt{a^2 + a_0^2}.

Расстояние в западной квадратуре будет равно

l = \sqrt{a^2 - a_0^2}.

Отношение расстояний есть

\frac{\sqrt{a^2 + a_0^2}}{\sqrt{a^2 - a_0^2}} = 1.29.

Отсюда выразим радиус орбиты астероида:

a^2 = \frac{1.29^2 + 1}{1.29^2 - 1};\quad a = \sqrt{\frac{1.29^2 + 1}{1.29^2 - 1}} = 2.00\ \text{а.е.}

Оценим синодический период астероида:

S = \frac{TT_0}{T - T_0} = \frac{2^{1.5}\cdot 1}{2^{1.5} - 1} = 1.55\ \text{лет}.

Определим, на какой угол должна уменьшиться разница гелиоцентрических долгот астероида и Земли (или на какой угол в системе отсчета астероида должна повернуться Земля):

\gamma = 90^{\circ} - \arccos\frac{a_0}{a} = 30^{\circ}.

Время, которое потребуется для прохождения данного угла, есть 1/12 синодического периода и составит 0.13 года.

Теперь предположим, что астероид отстает от Земли по долготе. Тогда разность долгот должна измениться на 180°+30° = 210°, и на это потребуется 7/12 синодического периода или 0.90 лет.

Система оценивания.

1 этап – 2 балла. Определение радиуса орбиты астероида, точность 0.02 а.е. При ошибке до 0.05 а.е. выставляется 1 балл.

2 этап – 2 балла. Определение синодического периода астероида, точность 0.03 года. При ошибке до 0.06 года выставляется 1 балл.

3 этап – 2 балла. Определение изменения разницы долгот астероида и Земли $\gamma$ (1 балл) и времени, оставшегося до квадратуры, для первого случая (1 балл), точность 0.02 года.

4 этап – 2 балла. Определение изменения разницы долгот астероида и Земли $\gamma$ (1 балл) и времени, оставшегося до квадратуры, для второго случая (1 балл), точность 0.06 года.

Максимальная оценка за решение задания – 8 баллов.

Оригинал в Архива: reg2024prob.pdf · официални решения: reg2024sol.pdf