Съдържание

ВсОА 2024, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 9. 10 класс, 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2024

XXXI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, 2024 г. Региональный этап. · 8 т.

Условие

Кометное ядро радиусом 1 км и плотностью 0.5 г/см $^3$ , двигавшееся по параболической траектории относительно Солнца в плоскости эклиптики навстречу Земле, упало на видимое полушарие Луны, высветив в оптическом диапазоне спектра 10% энергии своего падения в течение одной минуты. Во сколько раз стала ярче Луна в небе Земли в это время? Орбиты Земли и Луны считать круговыми, падение произошло в полнолуние.

Отговори

Решение

О.С. Угольников

Решение. Перед падением на Луну кометное ядро двигалось в Солнечной системе с параболической скоростью

v = \sqrt{\frac{2GM}{L}} = 42.1\ \text{км/с}.

Здесь $M$ – масса Солнца, $L$ – расстояние от Солнца до Земли. В этот момент Земля двигалась навстречу комете со скоростью

v_0 = \sqrt{\frac{GM}{L}} = 29.8\ \text{км/с}.

Коль скоро Луна в этот момент была в фазе полнолуния, она также двигалась навстречу комете с геоцентрической орбитальной скоростью $v_{\mathrm{L}} = 1.0$ км/с. В итоге, селеноцентрическая скорость кометы составляла

u_0 = v + v_0 + v_{\mathrm{L}} = 72.9\ \text{км/с}.

Перед падением эта скорость еще увеличилась за счет притяжения Луны. Однако, так как вторая космическая скорость на поверхности Луны (2.4 км/с) много меньше скорости $u_0$ , а по закону сохранения энергии в этом случае складываются квадраты скоростей, эффект оказывается очень слабым. С точностью до первого знака после запятой скорость $u_0$ от притяжения Луны не меняется, оставаясь равной 72.9 км/с. Столь же незначительным оказывается фактор приближения кометного ядра к Земле. Зная плотность и размер кометного ядра, мы можем определить его кинетическую энергию

E = \frac{4}{3}\pi\rho r^3\cdot\frac{u_0^2}{2} = 5.6\cdot 10^{21}\ \text{Дж}.

Здесь $r$ – радиус ядра. По условию задачи, в оптическое излучение переходит часть $\eta$ этой энергии, высвечиваясь за время $t$ . Отсюда мы получаем среднюю мощность излучения

J = \frac{E\cdot\eta}{t} = 9.3\cdot 10^{18}\ \text{Вт}.

Определим плотность потока этого излучения на расстоянии Земли:

F = \frac{J}{4\pi R^2} = 5.0\ \text{Вт/м}^2.

Плотность потока от Солнца в оптическом диапазоне составляет 600 Вт/м $^2$ . Луна слабее Солнца на $14.1^m$ или в $4.4\cdot 10^5$ раз, и плотность потока энергии в видимом диапазоне от нее равен $1.37\cdot 10^{-3}$ Вт/м $^2$ . После падения кометного ядра Луна на минуту станет ярче в 3600 раз.

Система оценивания.

1 этап – 2 балла. Нахождение селеноцентрической скорости кометного тела как суммы трех составляющих. Если участник не учитывает орбитальную скорость Луны и ошибается на 1 км/с – оценка уменьшается на 1 балл, если не учтена или неверно учтена одна из двух больших составляющих – этап не засчитывается полностью.

2 этап – 2 балла. Определение мощности оптического свечения Луны после падения кометного ядра. Точность (без учета ошибок на первом этапе) – 5%.

3 этап – 2 балла. Вычисление плотности потока энергии от вспышки на Земле либо соответствующей звездной величины. Точность – 5% (или $0.05^m$ ).

4 этап – 2 балла. Вычисление роста видимой яркости Луны во время вспышки. Точность 10%.

Максимальная оценка за решение задания – 8 баллов.

Оригинал в Архива: reg2024prob.pdf · официални решения: reg2024sol.pdf