Съдържание

Условие Решение

ВсОА 2025, Регионален етап, 10. клас — Задача 1. Шаровое скопление

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2025

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии — Региональный этап, 10 класс · 15 януари 2025 г. · 16 т.

Оригинальное содержание официального ключа

Региональный этап

Условия, решения и схема оценивания. 10 класс

Содержание

Задача	Страница официального решения
10.1. Шаровое скопление	2
10.2. Безнадежный побег	5
10.3. Световой день Тихо	9
10.4. Сказания о проницающей способности	14
10.5. Тройная фаза	18
10.6. Комета C/2023 A3 (Tsuchinshan-Atlas) у горизонта	22

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

Условие

Шаровое звездное скопление содержит 100 тысяч звезд светимостью $L=0.5\,L_\odot$ каждая и 80 красных гигантов с абсолютной звездной величиной $M=-3^m$ . Радиус скопления – 10 пк. Угловой размер скопления – $20'$ . Определите:

A. Расстояние до скопления. Находится ли данное скопление в нашей Галактике?

B. Видимую звездную величину всего скопления.

Межзвездным поглощением и поглощением в земной атмосфере пренебречь.

Решение

10.1. Шаровое скопление
В.Б. Игнатьев

Решение. Сначала ответим на первый вопрос задачи и определим расстояние до шарового скопления. Запишем формулу углового размера:

\rho''=\frac{206265\cdot D}{r}\qquad\text{или}\qquad\rho\ (\text{радиан})=\frac Dr

Здесь стоит обратить внимание, что угловой размер – это видимый угловой диаметр объекта. $r$ – это искомое расстояние до объекта.

Выразим зависимость от расстояния и подставим значения:

r=\frac{206265\cdot D}{\rho''}=\frac{206265\cdot20\ \text{пк}}{(20\cdot60)''}=3440\ \text{пк}

Расстояние 3440 пк (или 3.4 кпк) меньше, чем радиус Галактики Млечный Путь (около 15 кпк) и радиус звездного гало нашей Галактики (до 30 кпк). Поэтому данное скопление относится к нашей Галактике.

Перейдем ко второму вопросу задачи. Скопление состоит из двух подсистем. Сначала определим звездную величину каждой из подсистем, а потом вычислим звездную величину всего скопления.

Сначала рассмотрим подсистему красных гигантов. Известна абсолютная звездная величина каждой звезды $M_{RG}$ и число таких звезд $N_1=80$ . Для определения суммарной звездной величины нужно складывать не сами звездные величины, а создаваемые звездами освещенности. Воспользуемся законом Погсона для абсолютных звездных величин и светимостей звезд:

M_1-M_{RG}=-2.5\lg\frac{E_{\sum}}{E_{RG}}=-2.5\lg(N_1)

Подставив известные значения, получим абсолютную звездную величину подсистемы красных гигантов:

M_1=M_{RG}-2.5\lg80=-3-2.5\lg80=-9.5^m=-7.76^m

Видимую звездную величину получим, используя зависимость между видимой и абсолютной звездными величинами. Так как межзвездного поглощения нет, то она выглядит следующим образом

M-m=5-5\lg(r)

Отсюда

m_1=M_1-5+5\lg(r)=-7.76-5+5\lg(3440)=4.92^m

Теперь рассмотрим подсистему обычных звезд. Каждая звезда имеет светимость $0.5\,L_\odot$ . Полная светимость $L_1$ такой подсистемы, состоящей из $N_2$ одинаковых звезд, будет равна

L_2=N\cdot0.5\,L_\odot=10^5\cdot0.5\,L_\odot=5\cdot10^4\,L_\odot

Далее видимую звездную величину можно получить двумя способами: через абсолютную звездную величину или через определение освещенности. Оба варианта равноправны. Покажем их оба.

(1) Выразим абсолютную звездную величину Солнца. Для этого запишем формулу Погсона для абсолютных звездных величин. В этом случае отношение освещенностей $E$ будет равно отношению светимостей $L$ , так как в определении абсолютных звездных величин мы считаем, что расстояние до объектов одинаковое (10 пк).

M_2-M_\odot=-2.5\lg\frac{L_2}{L_\odot}

Из справочных данных возьмем абсолютную звездную величину Солнца $M_\odot=4.79^m$ .

M_2=4.79^m-2.5\lg(5\cdot10^4)=-6.96^m

Для перехода между видимой и абсолютной звездными величинами воспользуемся формулой

M-m=5-5\lg(r)

Отсюда

m_2=M_2-5+5\lg(r)=-6.96^m-5+5\lg(3440)=5.72^m

(2) Рассмотрим второй вариант решения этого пункта. Освещенность объекта связана с его светимостью, как $E=L/4\pi r^2$ . Следовательно можно определить освещеность объекта, а при использовании формулы Погсона сравнить освещенность объекта с освещенностью от известного нам объекта, например, Солнца.

m_2-m_\odot=-2.5\lg\frac{E_1}{E_\odot}=-2.5\lg\frac{5\cdot10^4\cdot L_\odot}{4\pi r^2E_\odot}

В принципе, уже при такой записи все величины под логарифмом являются или табличными значениями или известными по ходу решения задачи. В справочных данных можно взять видимую звездную величину Солнца, светимость Солнца и солнечную постоянную $E_\odot$ . Если же участнику сразу не очевидно, чему равна освещенность Солнца на удалении 1 а.е, ее можно выразить через светимость Солнца:

m_2-m_\odot=-2.5\lg\frac{5\cdot10^4\cdot L_\odot}{4\pi r^2E_\odot}=-2.5\lg\frac{5\cdot10^4\cdot L_\odot}{4\pi r^2\frac{L_\odot}{4\pi a_\oplus^2}}=-2.5\lg\frac{5\cdot10^4\cdot a_\oplus^2}{r^2}

Такая запись позволит уменьшить вероятность арифметических ошибок, а при подстановке численных значений ее можно еще упростить:

m_2=m_\odot-2.5\lg\frac{5\cdot10^4\cdot(1/206265\ \text{пк})^2}{(3440\ \text{пк})^2}=m_\odot-2.5\lg\frac{5\cdot10^4}{206265^2\cdot3440^2}=-26.8^m+32.51^m=5.71^m

Теперь перейдем к определению видимой звездной величины всего скопления. У нас есть две подсистемы звезд, имеющие видимые звездные величины $m_1$ и $m_2$ . Суммарную звездную величину будем определять, складывая освещенности, а не звездные величины.

E_{\sum}=E_1+E_2

Запишем формулу Погсона:

m_{\sum}-m_2=-2.5\lg\frac{E_{\sum}}{E_2}=-2.5\lg\frac{E_1+E_2}{E_2}=-2.5\lg(1+\frac{E_1}{E_2})

Отношение освещенностей $E_1/E_2$ можно выразить через формулу Погсона и звездные величины $m_1$ и $m_2$ , которые уже известны.

m_{\sum}-m_2=-2.5\lg(1+10^{-0.4(m_1-m_2)})

Подставляем значения:

m_{\sum}=5.72^m-2.5\lg(1+10^{-0.4(4.92-5.72)})=5.72^m-2.5\lg(1+2.089)=5.72^m-1.22^m=4.50^m

Обратим внимание, что при записи формулы Погсона можно сравнивать с любой из звездных величин $(m_1;m_2)$ . Но, как правило, удобнее использовать более тусклый объект.

Критерии оценивания. 16

Критерий	Баллы
К1. Запись формулы углового размера	1
К2. Определение расстояние до скопления	3
Ошибка в 2 раза из-за подстановки радиуса вместо диаметра	2

В случае, если расстояние найдено неверно, дальнейшее решение участника оценивается, исходя из значений, полученных участником. При этом максимальная оценка по критерию 4 остается без изменений

Если найденное расстояние получилось менее 10 пк (радиус скопления), оценка по критерию 4 равна 0 баллов. Никакие промежуточные баллы из данных критериев в этом случае не выставляются даже при их наличии и верном выполнении.

Критерий	Баллы
К3. Обоснованное утверждение, что скопление находится в Галактике Млечный путь	2
Дан только правильный ответ без обоснования	1
К4. Определение видимой звездной величины скопления	10
Запись формулы $M-m$ и расстояния	1
Подсистема красных гигантов. Определение абсолютной звездной величины	1
Определение видимой звездной величины подсистемы красных гигантов	2
Подсистема обычных звезд. Суммарная светимость	1
Подсистема обычных звезд. Абсолютная звездная величина (или освещенность)	1
Подсистема обычных звезд. Определение видимой звездной величины	2
Определение общей звездной величины скопления. Метод сложение освещенностей	1
Определение общей звездной величины скопления. Полученный численный ответ	1

Примечание к печатному источнику

В оригинальных условиях и официальных решениях сохранены печатные выражения и расхождения. В решении10.1 напечатано равенство −9.5ᵐ=−7.76ᵐ и разные значения5.72/5.71; в10.2 при отрицательной лучевой скорости записано положительное время T=r₀/vᵣ. В10.4 формула относительного отверстия содержит знаменатель10, а альтернативная формула фокусного расстояния обозначение f₃. В10.6 сохранены смешанные индексы звезд и величин, исходные выражения погрешностей, времени и округления. Это формы оригинального источника. Заголовок задачи10.4 «проницающей» следует печатным страницам. Каждый из первых пяти ключей указывает16баллов, шестой20; сумма100выведена из отдельных рубрик, отдельно общий балл не напечатан.

Оригинал в Архива: vos-2025-reg-prob-10.pdf · официални решения: vos-2025-reg-sol-10.pdf