ВсОА 2026, Заключителен етап, 11. клас — Задача 1. Я вам разрешаю

• 15000

  $R = c/\Delta v \approx 15000$ с учетом уширения линий вращением и тепловым движением (без учета уширения получалось бы $R = c/v \approx 3000$).

Решение. За счет орбитального движения звезд линии в их спектрах периодически отклоняются от положения, соответствующего центру масс системы.

Для построения кривых лучевых скоростей компонент системы по отдельности нужно, чтобы по спектру можно было измерять отклонения центров спектральных линий каждой звезды. Это отклонение согласно эффекту Доплера равно:

где $v$ — это лучевая скорость.

Видно, что можно перевести разрешающую силу в скорости:

Так как требуется оценить минимальную разрешающую силу, то нужно, чтобы можно было измерить $\Delta\lambda$, соответствующее хотя бы максимально возможным лучевым скоростям звезд.

Относительная орбитальная скорость равна

где $r = 0.74$ а.е. — радиус относительной орбиты, а $2\mathfrak{M} = 30\,\mathfrak{M}_{\odot}$ — суммарная масса системы.

Поставив числовые данные, получаем $v_{\text{отн}} \approx 1.9\cdot 10^2$ км/с. Отсюда скорость каждой из компонент относительно центра масс равна $v = v_{\text{отн}}/2 = 95$ км/с.

Казалось бы, необходимую разрешающую силу можно оценить так:

(формально четыре значащих цифры тут не получить, но по устоявшейся традиции спектральную разрешающую силу принято записывать таким образом).

Однако нужно учесть, что за счет вращения звезд и за счет теплового движения газа в их атмосферах линии в их спектрах расширяются и становятся похожи на то, что на рисунке.

При большой ширине близко расположенные линии начинают перекрываться, поэтому чтобы разрешить их потребуется бо́льшая разрешающая сила.

Приближенно можно оценить ширину спектральной линии по формуле эффекта Доплера для соответствующих скоростей.

Оценим скорость теплового движения. Так как требуется разрешение линии гелия, то нужно оценить характерную скорость движения атомов гелия в атмосфере звезд. Температуру звезды Главной последовательности с массой $15\,\mathfrak{M}_{\odot}$ можно оценить как $T = 3\cdot 10^4$ K. Скорость атомов гелия можно оценить как

где $\mathcal{R}$ — универсальная газовая постоянная, $\mu$ — молярная масса гелия.

Подставляя числа, получаем $v_{\text{тепл}} = 11$ км/с.

И вращение, и тепловое движение приводят к расширению спектральной линии одинаковым образом, поэтому можно оценить «эффективную скорость» для оценки ширины линии. Наиболее разумная идея — вычислить среднеквадратичное двух скоростей:

На соответствующую $v$ $\Delta\lambda$ линия будет расширяться в обе стороны от центральной длины волны. Если нужно, чтобы линии разрешались, расстояние между их центрами должно быть больше удвоенной $v$.

Орбитальная скорость звезд больше, чем удвоенная $v$ примерно на $\Delta v = 20$ км/с, поэтому можно ожидать, что при разрешающей силе, соответствующей $\Delta v$, можно будет построить кривые лучевых скоростей каждого компонента. Отсюда