ВсОА 2026, Заключителен етап, 9. клас — Задача 1. Калейдоскоп планет

• Четыре варианта: 20–21 марта — $h_{\odot} = 55^{\circ}$, $\varphi = 35^{\circ}$ с. ш.; 20–21 июня — $h_{\odot} = 8^{\circ}$, $\varphi = 58.5^{\circ}$ ю. ш.; 22–23 сентября — $h_{\odot} = 55^{\circ}$, $\varphi = 35^{\circ}$ ю. ш.; 21–22 декабря — $h_{\odot} = 8^{\circ}$, $\varphi = 58.5^{\circ}$ с. ш.

В. Б. Игнатьев

Решение. Нижние кульминации планет даже в приполярных регионах не могут происходить выше $23.5^{\circ}$, а значит, в условии могут рассматриваться только их верхние кульминации. Поскольку Марс кульминирует в полночь, то он находится в противостоянии, а Юпитер, кульминирующий спустя $6^{\mathrm{h}}$, находится в западной квадратуре. Угловое расстояние между точками кульминации планет не может превышать $2\varepsilon = 47^{\circ}$, где $\varepsilon$ — наклон небесного экватора к эклиптике, поскольку их склонения заключены в пределах от $-\varepsilon$ до $\varepsilon$. Значит, кульминации Марса и Юпитера происходят по одну сторону от зенита. Разница высот кульминаций составляет $\Delta h = 55^{\circ} - 31.5^{\circ} = 23.5^{\circ} = \varepsilon$. Этой же величине равна и разность склонений. Поскольку планеты находятся на эклиптике в $90^{\circ}$ друг от друга, такая ситуация может быть только в том случае, когда одна из планет находится в одной из точек равноденствий, а другая — в одной из точек солнцестояний.

Случай 1: Юпитер находится в одной из точек равноденствий ($\delta_{\text{Ю}} = 0$). Тогда широта места наблюдения $\varphi$ определяется из условия для верхней кульминации Юпитера:

Марс кульминирует выше Юпитера, то есть его склонение должно быть по модулю больше склонения Юпитера. При наблюдении в северном полушарии $\delta_{\mathrm{M1}} = 23.5^{\circ}$, то есть он находится в точке летнего солнцестояния. Солнце находится в противоположной от Марса точке эклиптики — точке зимнего солнцестояния. Следовательно, дата наблюдения — день зимнего солнцестояния (21–22 декабря). Высота Солнца в верхней кульминации будет на $\varepsilon$ ниже высоты кульминации Юпитера: $h_1 = h_{\text{Ю}\uparrow} - \varepsilon = 8^{\circ}$.

Для наблюдателя в южном полушарии Марс также будет кульминировать выше Юпитера, но его склонение составит $\delta_{\mathrm{M2}} = -23.5^{\circ}$, то есть он окажется в точке зимнего солнцестояния, а Солнце — в точке летнего солнцестояния. Такая ситуация возможна в день летнего солнцестояния (20–21 июня). Высота Солнца в верхней кульминации вновь должна быть на $\varepsilon$ ниже высоты Юпитера, то есть $h_2 = 8^{\circ}$.

Случай 2: Марс находится в одной из точек равноденствия ($\delta_{\mathrm{M}} = 0$). Тогда широту места наблюдения удобно получить из условия для верхней кульминации Марса:

Поскольку Солнце находится в противоположной точке равноденствия и имеет то же склонение, что и Марс, то и кульминирует на той же высоте, что и Марс:

Если наблюдение происходит в день весеннего равноденствия (20–21 марта), то Юпитер, находящийся к западу от Солнца в точке зимнего солнцестояния, имеет склонение $-23.5^{\circ}$ и кульминирует ниже Марса в северном полушарии. В день осеннего равноденствия (22–23 сентября) склонение Юпитера положительное и подобный случай реализуется в южном полушарии.

Таким образом, возможны четыре варианта ответа, приведенные в таблице: