Съдържание

ВсОА 2026, Регионален етап, 10. клас — Задача 1. Радуга

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Региональный этап — день 1. Условия задач. 10 класс · 24 февруари 2026 г. · 16 т.

Условие

Наблюдатель на поверхности Земли 1 октября видит радугу, пересекающую горизонт в точках с азимутами $51^{\circ}$ и $129^{\circ}$ . Определите широту наблюдателя и среднее солнечное время в момент наблюдения. Первичное (наиболее яркое) кольцо радуги находится на удалении $138^{\circ}$ от Солнца, свет от которого преломляется в капельках воды.

Уравнением времени и рефракцией пренебречь. Осеннее равноденствие в этом году наступило 23 сентября.

Отговори

Решение

В. Б. Игнатьев

Решение.

Азимут центра радуги можно определить как среднее арифметическое азимутов точек пересечения радугой горизонта. Получается значение 90 градусов. В центре круга радуги находится противосолнечная точка, которая, следовательно, находится на первом вертикале. Значение азимута в 90 градусов говорит нам про направление на запад, значит, Солнце находится на первом вертикале над или под точкой востока. Угловой радиус радуги – 42 градуса.

Нарисуем схему, поясняющую происходящее в задаче.

Окружность радуги, пересекаемая горизонтальной линией «Горизонт» в точках B₁ и B₂; центр окружности A над точкой W на горизонте; отрезок B₁A с подписью 42°, отрезок B₁W с подписью 39°, вертикальный отрезок AW. — Рис. 1: Плоское приближение. Вид на запад. Вариант 1.

Из плоского приближения по построению определяем, на какой высоте $h_{\odot}$ находится центр радуги:

h_{\odot} = \sqrt{42^2 - 39^2} = 15.6^{\circ}

Окружность радуги, пересекаемая горизонтальной линией «Горизонт» в точках B₁ и B₂; центр A под точкой W на горизонте; отрезок B₁W подписан 39°, отрезок B₁A подписан 42°. — Рис. 2: Вариант 2. Антисолнечная точка находится под горизонтом

Сразу стоит отметить, что из двух описанных выше вариантов остается только один. Солнце должно быть над горизонтом, а противосолнечная точка – под горизонтом, поскольку, если Солнце находится под горизонтом на высоте $-15.6^{\circ}$ , в месте наблюдения уже наступили астрономические сумерки, и радугу не будет видно.

Теперь определим значение склонения Солнца 1 октября. Снова воспользуемся плоским приближением, только теперь для окрестностей точки пересечения небесного экватора и эклиптики. С момента осеннего равноденствия прошло $31 - 23 = 8$ дней. За это время Солнце сместилось по эклиптике на угол $l$ :

l = \frac{360}{365} N = \frac{360}{365} \cdot 8 = 7.9^{\circ}\ {}^{1}

Поскольку дело происходит вблизи точки равноденствия, можем воспользоваться формулой

\delta = -l \cdot \sin\varepsilon = -3.15^{\circ}

$^{1}$ Решение с ответом 8 градусов засчитывается в полном объеме

Знак «минус» возникает, поскольку после осеннего равноденствия склонение Солнца становится отрицательным.

Участник мог определить склонение Солнца, воспользовавшись формулами сферической тригонометрии:

\sin\delta = -\sin\varepsilon \cdot \sin l = -3.15^{\circ}

Если участник верно воспользовался этими формулами и получил правильный ответ, то этот блок решения засчитывается полностью. В случае ошибки в записи формулы или в вычислениях данный пункт не засчитывается.

Следующий шаг – определим широту места наблюдения. Снова воспользуемся плоским приближением. Нарисуем горизонт в окрестностях точки востока. Стоит сразу отметить, что широта места наблюдения отрицательная (южная), поскольку в северном полушарии 1 октября Солнце было бы под точкой востока, а не над ней.

Горизонтальная линия горизонта с точкой E; через E проходит наклонная линия небесного экватора, угол между ней и горизонтом подписан 90 − φ; вертикальный отрезок ES к Солнцу S, угол φ при S; параллельная экватору линия через S и точка A на ней, отрезок EA перпендикулярен. — Рис. 3: Плоское приближение. Определение широты и часового угла.

На рисунке горизонтальная линия – это горизонт, точка $E$ – точка востока, точка $S$ – положение Солнца. Наклонная линия, проходящая через точку востока ( $E$ ) – небесный экватор, отрезок $ES$ – высота Солнца, отрезок $EA$ – модуль склонения Солнца. Из рисунка следует, что

\sin\varphi = \frac{3.15^{\circ}}{15.6^{\circ}} \qquad \to \qquad \varphi = 11.6^{\circ}\ \text{ю.ш.}

Теперь перейдем к определению местного солнечного времени:

t^{*} = SA = \sqrt{15.6^2 - 3.15^2} = 15.3^{\circ} = 1^h 1^m 7^s

Здесь мы сразу перевели полученный угол из угловой меры во временную. Если бы Солнце находилось в точке $A$ , часовой угол был бы равен $-6^h$ , и местное время было бы $T = 12^h - 6^h$ . Но точка $S$ ближе к меридиану на угол $t^{*}$ , поэтому местное солнечное время равно

T = 12^h - 6^h + t^{*} = 7^h 1^m 1^s. \approx 7^h 1^m

Ответ. $\varphi = 11.6^{\circ}$ ю.ш., $T = 7^h 1^m$

Критерии оценивания. 16

К1. Работа с радугой … 5

Определение азимута противосолнечной точки … 2
Определение азимута Солнца … 1
Определение высоты Солнца … 2

К2. Выбор варианта, в котором Солнце находится над горизонтом … 2

Выбор варианта должен быть обоснован в решении в явном виде

К3. Прямое указание, что широта наблюдения южная … 2

В решении должно быть приведено обоснование в явном виде. При наличии в ответе значений в обоих полушариях за данный пункт ставится 0 баллов.

К4. Определение величины широты места наблюдения. Требуемая точность ответа $\pm 2^{\circ}$ … 2

К5. Определение местного солнечного времени … 5

Диапазон допустимых ответов $T \in [6^h 50^m; 7^h 15^m]$ . За пределами этого диапазона оценка за критерий строго 0 баллов. Если участник ошибся с выбором точки востока/запада или с южным/северным полушарием, оценка за данный этап – 0 баллов. Если участник посчитал, что возможны два варианта, и получил решения и для северного и для южного полушария, то за критерий 3 ставится 0 баллов, а критерий 5 оценивается по решению для южного полушария.

Оригинал в Архива: vos-2026-reg-prob-day1-10.pdf · официални решения: vos-2026-reg-sol-day1-10.pdf