ВсОА 2026, Регионален етап, 10. клас — Задача 6. Пятерка

• φ₁ = 40°, φ₃ = −20°

На первом этапе решения проинтерпретируем последнее утверждение. Северное полярное расстояние $p$ – это угловое расстояние от северного полюса мира до светила, а склонение $\delta$ – это угловое расстояние от светила до небесного экватора. Сумма $p + \delta = 90^{\circ}$.

Отсюда получаем, что склонение звезды равно

При этом звезда относится к северному полушарию неба. Для южной полусферы решений нет.

На втором этапе запишем высоты, а потом и зенитные расстояния нижней и верхней кульминаций:

Последнюю формулу лучше записать в общем виде:

Зенитное расстояние верхней кульминации меньше, чем зенитное расстояние нижней кульминации. При этом в кульминациях достигаются минимальное и максимальное значения зенитного расстояния.

Тогда из условия задачи

Подставим в это выражения формулы для зенитных расстояний:

Нам уже известно, что склонение звезды $\delta = 15^{\circ}$.

При раскрытии модулей, нужно рассмотреть три интервала:

A. $\varphi > \delta$ и $\varphi + \delta > 0^{\circ}$. Упростим и получим, что $\varphi > 15^{\circ}$.

B. $\varphi < \delta$ и $\varphi + \delta > 0^{\circ}$. На этом интервале $\varphi \in (-15^{\circ}; 15^{\circ})$

C. $\varphi < \delta$ и $\varphi + \delta < 0^{\circ}$. Следовательно, $\varphi < -15^{\circ}$

Случаи, когда $\varphi = 15^{\circ}$, нам неинтересны, поскольку в этом случае зенитное расстояние становится равным нулю, и задача вырождается.

Рассмотрим первый случай. Раскрываем модуль со знаком «плюс», здесь $\varphi > \delta$:

Для второго случая, когда раскрываем модуль с «минусом», то есть верхняя кульминация происходит к северу от зенита ($\varphi < \delta$):

Этот ответ не подходит, поскольку он не принадлежит интервалу $\varphi \in (-15^{\circ}; 15^{\circ})$ и не удовлетворяет условию $\varphi < \delta$.

Рассмотрим третий вариант, раскрыв оба модуля с «минусами»:

Этот ответ подходит, так как $\varphi < -15^{\circ}$

Ответ. $\varphi_1 = 40^{\circ}$, $\varphi_3 = -20^{\circ}$

Также опишем альтернативный вариант решения. Первая часть решения, где определяется склонение звезды $\delta = 15^{\circ}$, аналогична описанному выше варианту. Далее рассмотрим случай наблюдателя на северном полюсе. Для него звезда всегда находится на постоянной высоте и на постоянном зенитном расстоянии. Это зенитное расстояние равно северному полярному расстоянию $p$.

Теперь представим, что наблюдатель постепенно перемещается с северного полюса на юг, уменьшая свою широту. Тогда при текущей широте $\varphi$ зенитное расстояние полюса мира станет равным $\alpha = 90^{\circ} - \varphi$. При этом зенитное расстояние для нижней кульминации будет увеличиваться:

а зенитное расстояние для верхней кульминации будет уменьшаться:

Рассмотрим функцию $k$, равную отношению зенитных расстояний нижней и верхней кульминации.

При $\alpha = 0$ отношение равно единице, при дальнейшем увеличении $\alpha$ функция $k$ растет до момента, когда верхняя кульминация окажется в зените ($\alpha = p$). В этой точке функция $k$ не определена, так как знаменатель равен 0. Функция растет монотонно, и решение уравнения $k = 5$ даст только один ответ. Определим его:

Рассмотрим второй интервал, в котором $\alpha$ увеличивается от $75^{\circ}$ до $105^{\circ}$. Первая граница соответствует верхней кульминации в зените, а вторая граница соответствует нижней кульминации в надире. В этом интервале с увеличением $\alpha$ оба зенитных расстояния увеличиваются. Функция

будет монотонно падать от бесконечности на первой границе до $k = 6$. Решения нашей задачи на этом интервале нет.

Рассмотрим третий интервал, где $\alpha \in (105^{\circ}; 180^{\circ})$.

В этом случае

Тогда исследуемое отношение равно

$k$ – монотонно падающая функция, изменяющаяся от 6 до 1. Решим уравнение:

Критерии оценивания. 16

К1. Определение склонения звезды $\delta = +15^{\circ}$ … 4

Если в ответе есть несколько вариантов склонения, или получены другие значения, за данный пункт ставится 0 баллов.

К2. Сформулирована система уравнений для решения задачи … 4

Если система уравнений записана верно только для одного из случаев (не содержит модули), оценка за данный критерий – 2 балла.

К3. Рассмотрены три случая, получены два ответа … 5

• Найдено решение $\varphi_1 = 40^{\circ}$ … 2
• Найдено решение $\varphi_3 = -20^{\circ}$ … 2
• Получены и отброшены невозможные решения, например, $\varphi_2 = -22.5^{\circ}$ … 1

Решение может быть графическим (построением небесной сферы) или алгебраическим

К4. Сформулирован верный ответ … 3

Вариант решения с ответом $\varphi = \pm 40^{\circ}$ оценивается максимум как 4+2+2+0=8 баллов