Съдържание

ВсОА 2026, Регионален етап, 11. клас — Задача 6. Концентрат для Волос

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Региональный этап — день 2. Условия задач. 11 класс · 25 февруари 2026 г. · 16 т.

Условие

Шаровое скопление состоит по количеству на 60% из звезд массы 0.8 $\mathfrak{M}_{\odot}$ и на 40% из звезд массы 1 $\mathfrak{M}_{\odot}$ , все звезды находятся на Главной последовательности. Закон распределения концентрации объектов от расстояния задается формулой

n(r) = \frac{n_0}{r^2}.

Известно, что полный радиус скопления составляет 12 пк, а число звезд в скоплении равно $10^5$ , в любой части скопления соотношение числа звезд двух типов одинаково.

A. Определите $n_0$ , считая единицей расстояния 1 парсек. [5 т.]

B. С какого максимального расстояния можно увидеть такое скопление невооруженным глазом, если наблюдается оно в созвездии Волос Вероники? [6 т.]

C. Представим, что наблюдение скопления на максимальном расстоянии, при котором оно доступно для наблюдений невооруженным глазом, проводится на телескопе с диаметром объектива $D = 15$ см и фокусным расстоянием $F = 1.8$ м. Сколько пикселей будет занимать изображение скопления в фокальной плоскости объектива телескопа, если в ней установлена ПЗС-матрица с пикселями размера 4 мкм $\times$ 4 мкм? [5 т.]

Отговори

Решение

А.В.Веселова

Решение.

A. Запишем выражение для полного количества звезд в скоплении:

N = \int\limits_0^R 4\pi r^2 \cdot n(r)\, dr = 4\pi \int\limits_0^R \frac{n_0}{r^2} \cdot r^2\, dr = 4\pi n_0 R.

Можно также заметить, что если рассмотреть сферические слои фиксированной толщины, то их объемы будут пропорциональны квадрату радиуса. Это означает, что в каждом таком слое количество звезд будет одним и тем же, откуда следует тот же результат (но формально полученный без использования интегрирования).

Отсюда находим $n_0$ :

n_0 = \frac{N}{4\pi R} = \frac{10^5}{4\pi \cdot 12\,\text{пк}} = 6.6 \cdot 10^2\ \text{пк}^{-1}.

B. Определим светимость скопления как целого, для этого оценим светимость каждой звезды. На главной последовательности светимость звезды связана с ее массой пропорциональностью

L \propto \mathfrak{M}^4. \qquad (1)

Светимость звезды солнечной массы равна светимости Солнца, светимость звезды с массой 0.8 $\mathfrak{M}_{\odot}$ составит $\approx 0.41\ L_{\odot}$ . Тогда полная светимость составит

L = 10^5 \cdot (0.6 \cdot 0.41 + 0.4 \cdot 1) \approx 6.5 \cdot 10^4\ L_{\odot}.

Определяем абсолютную болометрическую величину скопления:

M = M_{\odot} - 2.5 \lg \frac{L}{L_{\odot}} = 4.7 - 2.5 \lg\left(6.5 \cdot 10^4\right) = -7^m.3.

Далее определим, с какого расстояния скопление будет видно на пределе видимости невооруженным глазом:

m = M - 5 + 5 \lg r \quad \Rightarrow \quad r = 10^{0.2(m - M + 5)} = 10^{0.2(6 + 7.3 + 5)} = 4.6 \cdot 10^3\ \text{пк}.

Шаровое скопление оказывается расположенным в нашей Галактике, причем недалеко от Солнца по галактическим масштабам. При этом оно наблюдается в направлении, практически перпендикулярном диску Галактики, что означает, что межзвездное поглощение света сравнительно мало. Заметим также, что даже в плотных скоплениях звезды не перекрывают друг друга: расстояния между звездами много больше размеров самих звезд, поэтому мы имели право просто складывать светимости звезд друг с другом.

C. Определим угловой размер скопления с полученного в предыдущем пункте расстояния:

\alpha = \frac{D}{r} = \frac{2 \cdot 12}{4600} = 5.2 \cdot 10^{-3},

полученное значение выражено в радианах. Тогда диаметр изображения в фокальной плоскости составит

d = \alpha F = 5.2 \cdot 10^{-3} \cdot 1800\ \text{мм} = 9.4\ \text{мм}.

Площадь изображения составит $S = \dfrac{\pi d^2}{4} \approx 69\ \text{мм}^2$ . Площадь каждого пикселя ПЗС-матрицы равна $S_0 = \left(4 \cdot 10^{-3}\right)^2 = 1.6 \cdot 10^{-5}\ \text{мм}^2$ , тогда количество занимаемых изображением пикселей составит $S/S_0 = 4.3 \cdot 10^6$ . Получится весьма подробное изображение, при этом размер дифракционного кружка окажется примерно совпадающим с размером пикселя.

Критерии оценивания.

K1. Пункт A — 5

Верное выражение (с интегралом или суммой) для оценки полного количества звезд — 3
Верное вычисление $n_0$ — 2

K2. Пункт B — 6

Определение светимости звезды с массой 0.8 $\mathfrak{M}_{\odot}$ , в зависимости (1) допускаются показатели степени от 3 до 4 включительно — 2
- Если светимость звезды постулируется без объяснений, но значение верно, выставляется 1 балл.
Определение верного значения полной светимости скопления — 1
Верное обоснованное определение расстояния до звезды, в том числе с возможной промежуточной оценкой абсолютной звездной величины, с пренебрежением поглощением — 3
- Если участник учитывает поглощение с коэффициентом $(1 \div 3)^m/\text{кпк}$ , выставляется 2 балла, поскольку направление в условии задачи свидетельствует о наблюдении перпендикулярно плоскости диска Галактики.

K3. Пункт C — 5

Определение (явное или формульное) углового размера скопления исходя из полученного ранее значения расстояния — 1
Верная оценка размера изображения в фокальной плоскости (формула или явный расчет) — 2
Перевод значения в пиксели (формула или явный расчет) — 1
Получение верного ответа в пикселях — 1

Максимальная оценка: 16

Оригинал в Архива: vos-2026-reg-prob-day2-11.pdf · официални решения: vos-2026-reg-sol-day2-11.pdf