ВсОА 2026, Регионален етап, 11. клас — Задача 8. Еще одна точка зрения

• A. Мгновенное собственное движение обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца до астероида: $\mu \propto 1/r^2$.

• B. От $0''.004/\text{с}$ (в афелии, $1.8\cdot 10^{-8}$ рад/с) до $0''.02/\text{с}$ (в перигелии, $9.7\cdot 10^{-8}$ рад/с).

• C. 0.004 ″/с

  $\mu \approx 4\cdot 10^{-3}{}''/\text{с}$. В критериях отпечатан интервал «от 3.5 до 4.5 миллисекунд дуги в год», тогда как в решении ответ дан в угловых секундах в секунду — единица в критериях оставлена как в источнике.

А.В.Веселова

Решение.

A. Собственное движение связано с компонентой скорости объекта, перпендикулярной лучу зрения. Эту компоненту мы можем определить из II закона Кеплера (на самом деле из закона сохранения момента импульса):

здесь $v$ — скорость астероида на расстоянии $r$ от Солнца, $\alpha$ — угол между радиус-вектором $\vec{r}$ и вектором скорости $\vec{v}$. При этом $v\sin\alpha$ — это и есть перпендикулярная лучу зрения (для гелиоцентрического наблюдателя) компонента скорости $v_{\perp}$.

Собственное движение показывает угловой сдвиг объекта на небе за единицу времени $\Delta t$, тогда выражение для собственного движения примет вид

Итого, мгновенное собственное движение обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца до астероида.

B. Из полученной выше формулы следует, что граничные значения собственного движения достигаются в перигелии и афелии. Вычислим их.

C. Астероид находится в четверти орбиты от перицентра, то есть в вершине малой оси. В этом случае касательная к эллипсу (и, следовательно, вектор скорости) направлен параллельно большой оси эллипса. Нужно найти скорость в этой точке и определить ее проекцию на перпендикуляр к лучу зрения наблюдателя.

Расстояние от фокуса до вершины малой оси равно в точности большой полуоси эллипса. Полную скорость определим из интеграла энергий:

Можно сразу использовать готовый факт о совпадении скорости в вершине малой оси со скоростью на круговой орбите радиуса $a$.

Величина малой полуоси связана с большой полуосью и эксцентриситетом формулой $b = a\sqrt{1 - e^2}$, тогда расстояние от перицентра до вершины малой полуоси составит

Угол между радиус-вектором $\vec{r}$ и вектором скорости $\vec{v}$ оценим из закона сохранения момента импульса:

Угол между лучом зрения наблюдателя равен $\theta = \alpha - \beta$, где угол $\beta$ определяется из треугольника «Солнце — наблюдатель — астероид»:

Рассчитываем угол $\theta$: $\theta = 66^{\circ} - 24^{\circ} = 42^{\circ}$. Тогда мгновенное собственное движение астероида для наблюдателя составит

Критерии оценивания.

K1. Пункт A — 6

• Указание на связь собственного движения с компонентой скорости, перпендикулярной лучу зрения (формульное или словесное) — 2
• Физически верная модель связи собственного движения с параметрами орбиты и Солнца, в том числе через II закон Кеплера или интеграл площадей — 3
• Получение итогового верного соотношения $\mu \propto 1/r^2$ — 1

K2. Пункт B — 4

• Явное или формульное указание на точки орбиты, в которых достигаются граничные значения собственного движения — 2
• Вычисление верных итоговых значений в указанных в условии единицах измерения — 1+1

K3. Пункт C — 6

• Указание на то, что объект находится в вершине малой оси (графическое или словесное) — 1
• Верная обоснованная оценка расстояния до наблюдателя (в а.е. или иных осмысленных единицах, или же верная формульная запись) — 2
• Верный расчет угловых характеристик, необходимых для проецирования скорости на картинную плоскость — 2
• Верная итоговая оценка собственного движения (с учетом погрешностей засчитываются ответы в интервале от 3.5 до 4.5 миллисекунд дуги в год при верном ходе решения) — 1

Максимальная оценка: 16