X-ENS 2022, Приемен изпит, физика и химия — Задача 1. L’hélium liquide à basse température

CONCOURS D’ADMISSION 2022 — FILIERE PC — Epreuve n° 5 — PHYSIQUE B (XEULS) · 27 април 2022 г.

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ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI — ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2022

MERCREDI 27 AVRIL 2022 — 08h00 - 12h00

FILIERE PC - Epreuve n° 5

PHYSIQUE B (XEULS)

Durée : 4 heures

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Étude de l’hélium superfluide métastable

Introduction

Dans ce sujet, nous nous intéressons à l’hélium 4 (ou 4He^{4}\mathrm{He}) à basse température, que nous appellerons simplement hélium par la suite. La première partie permet d’aborder les propriétés singulières de l’hélium liquide à basse température. L’hélium liquide peut être préparé dans des états dits “métastables” : la description de ces états fera l’objet de la seconde partie. Enfin, la troisième partie traite de l’étude expérimentale de l’hélium métastable par deux techniques : la mesure de la masse volumique par interférométrie et la mesure de la “fréquence Brillouin” par diffusion Brillouin. Ces deux mesures permettent de remonter à l’équation d’état de l’hélium métastable. Ces trois parties, ainsi que les sous-parties 3.1 et 3.2, sont dans une large mesure indépendantes.

Indications

On donne 503≃3,5\sqrt[3]{50} \simeq 3{,}5.

Constantes fondamentales

  • célérité de la lumière dans le vide : c≃3×108 m.s−1c \simeq 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m.s^{-1}}
  • permittivité diélectrique du vide : ϵ0≃9×10−12 F.m−1\epsilon_0 \simeq 9 \times 10^{-12}\ \mathrm{F.m^{-1}}
  • constante de Planck : h≃7×10−34 J.sh \simeq 7 \times 10^{-34}\ \mathrm{J.s}
  • constante de Planck réduite : ℏ=h/2π≃1×10−34 J.s\hbar = h/2\pi \simeq 1 \times 10^{-34}\ \mathrm{J.s}
  • constante de Boltzmann : kB≃1,4×10−23 J.K−1k_B \simeq 1{,}4 \times 10^{-23}\ \mathrm{J.K^{-1}}

Notations et grandeurs liées à l’hélium liquide

  • masse atomique : mHe≃7×10−27 kgm_{\mathrm{He}} \simeq 7 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}
  • polarisabilité atomique : α\alpha
  • pression de vapeur saturante (coexistence liquide-gaz) : psatp_{\mathrm{sat}}
  • vitesse du son à T≃1 KT \simeq 1\ \mathrm{K} : v≃200 m.s−1v \simeq 200\ \mathrm{m.s^{-1}}
  • indice optique : n≃1n \simeq 1

Условие

Lorsque de l’hélium est refroidi en suivant la courbe de coexistence gaz-liquide, on observe une évolution rapide de sa capacité thermique massique à pression constante autour de la température Tλ≃2,17 KT_\lambda \simeq 2{,}17\ \mathrm{K} (voir Fig.1(a)).

Deux graphiques côte à côte. (a) $c_p$ (kJ/kg/K) de 0 à 15 en fonction de $T$ (K) de 1 à 4 : la courbe croît jusqu’à un pic très étroit vers 2,17 K puis retombe vers 2,5 et remonte lentement jusqu’à environ 4,5 à 4,2 K. (b) $\rho$ (kg/m³) de 130 à 145 en fonction de $T$ (K) de 1 à 4 : presque constante vers 145, léger maximum vers 2,2 K, puis décroissance jusqu’à environ 126 à 4,2 K.
Figure 1 – (a) Évolution de la capacité thermique massique à pression constante cpc_p de l’hélium à la pression de vapeur saturante en fonction de la température TT. (b) Évolution de la masse volumique ρ\rho de l’hélium à la pression de vapeur saturante en fonction de la température TT.

1. On refroidit une masse mm d’hélium liquide à pression constante de T=5 KT = 5\ \mathrm{K} à T=1 KT = 1\ K avec une puissance de refroidissement Pth<0\mathcal{P}_{\mathrm{th}} \lt 0 constante au cours du temps. Par application du premier principe, exprimer dT/dt\mathrm{d}T/\mathrm{d}t en fonction des données du problème. Donner l’allure de l’évolution temporelle de la température de l’hélium à partir de la courbe cp(T)c_p(T).

Cette évolution rapide de cp(T)c_p(T) est due à une transition de phase à la température TλT_\lambda (appelée “transition λ\lambda” à cause de la forme du pic de cpc_p proche de TλT_\lambda) d’une phase liquide I vers une phase liquide II, que l’on appelle aussi phase liquide “superfluide”. C’est une transition de phase sans chaleur latente, et à laquelle il n’y a pas de discontinuité de la masse volumique (voir Fig.1(b)).

Le diagramme d’état (p, T)(p,\, T) de l’hélium est représenté en Fig.2.

2. Donner le diagramme de phase (p, T)(p,\, T) typique d’un corps pur en équilibre. Comparer avec celui de l’hélium. Que se passe-t-il lors du refroidissement d’un système le long de sa ligne de coexistence avec la phase gazeuse ? Que se passe-t-il pour l’hélium ?

L’hélium superfluide (i.e. en phase liquide II) a des propriétés très différentes de celles de la phase liquide I. En particulier, sa viscosité est extrêmement faible, au moins 10610^{6} fois plus faible que celle de la phase liquide I, et l’hélium superfluide peut s’écouler très facilement à travers un milieux poreux. On considère ainsi que l’écoulement de l’hélium est parfait.

3. Donner brièvement quelques caractéristiques d’un écoulement parfait.

4. Les propriétés surprenantes de l’hélium superfluide sont une manifestation directe d’effets quantiques. À partir des données fournies dans l’énoncé, donner la distance interatomique typique aa de l’hélium en phase superfluide. Déterminer la longueur d’onde de de Broglie, notée Λ\Lambda, en fonction de kBk_B, hh, TT et mHem_{\mathrm{He}} en supposant que l’énergie cinétique EcE_c est de l’ordre de 3kBT3k_BT. Donner la dépendance de la longueur d’onde de de Broglie en TT. On considère que le fluide est quantique lorsque Λ∼a\Lambda \sim a. Donner un ordre de grandeur de la température à laquelle les effets quantiques apparaissent et commenter ce résultat.

Diagramme d’état $p$ (Pa), échelle logarithmique de $10^{1}$ à $10^{7}$, en fonction de $T$ (K) de 0 à 6, avec les domaines « Solide », « Helium-II », « Helium-I » et « Gaz » ; la courbe de vaporisation se termine au point critique (C) vers 5,2 K ; la ligne λ quasi verticale vers 2,2 K sépare Helium-II et Helium-I.
Figure 2 – Diagramme d’état de l’hélium. Le point (C) est le point critique. L’hélium-II est aussi appelé hélium superfluide.

Решение

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Оригинал в Архива: PC_2022.pdf