X-ENS 2023, Приемен изпит, физика и химия — Задача 1. Question préliminaire

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI — ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2023 — FILIERE PC - Epreuve n° 5 — PHYSIQUE B (XEULS) — Mesure de la constante de structure fine · 19 април 2023 г.

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques :

  • célérité de la lumière dans le vide : c≃3×108 m⋅s−1c \simeq 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}
  • permittivité diélectrique du vide : ϵ0≃9×10−12 F⋅m−1\epsilon_0 \simeq 9 \times 10^{-12}\ \mathrm{F \cdot m^{-1}}
  • charge élémentaire : e≃1,5×10−19 Ce \simeq 1{,}5 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}
  • constante de Planck : h≃7×10−34 J⋅sh \simeq 7 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Planck réduite : ℏ=h/2π≃1×10−34 J⋅s\hbar = h/2\pi \simeq 1 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Boltzmann : kB≃1,5×10−23 J⋅K−1k_B \simeq 1{,}5 \times 10^{-23}\ \mathrm{J \cdot K^{-1}}
  • masse atomique d’un atome de Rubidium 87 : m≃1,5×10−25 kgm \simeq 1{,}5 \times 10^{-25}\ \mathrm{kg}
Увод

Ce sujet propose de s’intéresser à la mesure de la constante de structure fine α\alpha, dont Richard Feynman, célèbre physicien du XXe^{\mathrm{e}} siècle, disait qu’elle est “l’un des plus grands mystères de la physique : un nombre magique qui nous parvient sans que l’homme puisse le comprendre.”

Cette constante, sans dimension, est directement reliée à l’interaction électromagnétique. Elle est donnée par la relation :

α=e24πϵ0ℏc(1)\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} \qquad (1)

Une valeur approchée de α\alpha est 1/1371/137. La mesure la plus précise à ce jour donne :

1/α=137,035999206±11×10−9(2)1/\alpha = 137{,}035999206 \pm 11 \times 10^{-9} \qquad (2)

soit une incertitude relative de l’ordre de 8×10−118 \times 10^{-11}. Ce sujet a pour but d’expliquer comment la constante de structure fine α\alpha a pu être mesurée avec une telle précision.

Условие

Une autre détermination précise de α\alpha a pu être effectuée de manière indépendante. Cette autre détermination fait en particulier intervenir des calculs issus du “Modèle standard”, qui est le cadre théorique de notre compréhension actuelle des forces forte, faible et électromagnétique. La valeur obtenue est :

1/α=137,03599915±3×10−8(3)1/\alpha = 137{,}03599915 \pm 3 \times 10^{-8} \qquad (3)

1. Comparer les deux valeurs de 1/α1/\alpha données par les Éq. (2) et Éq. (3) en calculant leur écart normalisé (que l’on comparera à 2). La théorie du Modèle Standard semble-t-elle valide au regard de ces deux valeurs ?

Dans la partie I.1, nous nous intéresserons au lien entre α\alpha et une autre constante fondamentale connue avec précision : la constante de Rydberg R∞R_\infty. Nous étudierons dans toute la suite du sujet le principe de la mesure de la masse mm de l’atome de Rubidium 87, qui permet de remonter à α\alpha. La partie I.2 présentera le principe de cette mesure, réalisée par interférométrie atomique. La partie II traitera la source d’erreur principale de la mesure qui doit être prise en compte pour obtenir une valeur correcte de α\alpha.

Les parties I et II sont dans une large mesure indépendantes.

Решение

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Pour aller plus loin

Pour aller plus loin :

Le Modèle standard est actuellement la théorie la plus aboutie pour décrire les particules élémentaires et trois des quatre interactions fondamentales de l’univers (interactions électromagnétique, forte et faible). En revanche, ce modèle n’inclut pas l’interaction gravitationnelle et ne permet ni de comprendre la “matière noire”, ni l’“énergie sombre”, ni les différences de proportion observées dans l’Univers entre matière et anti-matière. Les mesures extrêmement précises de certaines constantes fondamentales imposent des contraintes fortes sur les nouvelles théories candidates, et permettent d’écarter celles dont les prévisions sont incompatibles avec les résultats de la mesure.

Comme indiqué au début du sujet, la mesure la plus précise de α\alpha a été effectuée par interférométrie atomique, et repose sur la mesure de la masse de l’atome de Rubidium 87.

La valeur de 1/α1/\alpha reportée en Éq. (3) est déterminée à partir d’une autre mesure : la valeur du “moment magnétique anomal” de l’électron¹, grandeur sans dimension notée aea_e. Cette grandeur peut être reliée théoriquement à α\alpha par des calculs effectués dans le cadre du Modèle Standard :

ae=∑i=0+∞Ciαi+ae,0(22)a_e = \sum_{i=0}^{+\infty} C_i \alpha^i + a_{e,0} \qquad (22)

Les dix premiers termes de cette série, et le terme ae,0a_{e,0}, ont pu être calculés numériquement avec précision. La mesure de aea_e et l’inversion de l’équation précédente a pu conduire à la valeur de α\alpha donnée par l’Éq. (3).

L’accord entre ces deux mesures de α\alpha est à l’heure actuelle l’un des tests les plus robustes du Modèle Standard.

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¹ Le rapport du moment magnétique et du moment cinétique d’un électron est appelé “facteur de Landé”, noté glg_l. L’équation de Dirac, qui décrit les particules relativistes de spin 1/2, prédit que le facteur de Landé est égal à 2 pour l’électron. Expérimentalement, le facteur de Landé gl,expg_{l,\mathrm{exp}} mesuré est légèrement différent de 2 (sa valeur expérimentale est très proche de 2,00232{,}0023). Le moment magnétique anomal de l’électron est défini comme : ae=(gl,exp−2)/2a_e = (g_{l,\mathrm{exp}} - 2)/2.

Оригинал в Архива: PC_2023.pdf