X-ENS 2024, Приемен изпит, физика и химия — Задача 1. Les hypothèses de l’acoustique linéaire.

ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ESPCI · ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES · CONCOURS D’ADMISSION 2024 · FILIÈRE PC – Épreuve n° 5 · PHYSIQUE B (XEULS) · 17 април 2024 г.

Consigne

L’utilisation de calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

Propagation d’une onde acoustique dans un milieu non homogène

Nous nous proposons d’étudier la propagation d’une onde acoustique dans un milieu non homogène en adoptant une approche directement inspirée de l’optique géométrique.

Cette étude comprend deux parties. La première est consacrée à l’analyse des hypothèses sur lesquelles repose l’acoustique linéaire. La seconde s’attache à caractériser la trajectoire suivie par un rayon acoustique dans un milieu inhomogène. Ces deux parties sont, dans une large mesure, indépendantes.

➞ Les applications numériques seront effectuées avec la précision qu’un calcul à la main permet aisément, et sans excéder deux chiffres significatifs. Les ordres de grandeur seront donnés avec un seul chiffre significatif.

➞ Les réponses aux questions relevant de considérations qualitatives devront être argumentées.

➞ Les références des questions abordées devront être indiquées de façon claire.

Условие

Nous considérons une onde acoustique se propageant dans un milieu fluide soumis au champ de pesanteur $\vec g$ uniforme (seulement à ce champ de force volumique). En l’absence d’onde acoustique le traversant, ce fluide est au repos dans le référentiel d’étude $\mathcal{R}(\mathrm{O},x,y,z)$ supposé galiléen. Nous notons $\vec v = \vec v(\mathrm{M},t)$, $p = p(\mathrm{M},t)$, $\rho = \rho(\mathrm{M},t)$ et $T = T(\mathrm{M},t)$ les champs spatio-temporels de vitesse, de pression, de masse volumique et de température décrivant la réponse du milieu à l’onde acoustique. M désigne un point de l’espace et $t$ le temps.

Nous supposons que les conditions sont telles que l’écoulement, induit par l’onde acoustique au sein du fluide, peut être considéré comme étant “parfait” (la discussion de cette hypothèse fera l’objet de la question (11)). Les équations fondamentales de l’acoustique sur lesquelles repose l’étude sont alors les suivantes :

1. L’échelle spatiale de description choisie en mécanique des fluides est l’échelle mésoscopique à laquelle est définie la particule fluide. Indiquer quel critère (objectif) guide le choix de la taille d’une telle particule, dans un milieu et pour des conditions thermodynamiques donnés (aucun calcul d’application n’est demandé).

2. Justifier que le système d’équations (1) ne permet pas, à lui seul, d’accéder aux différents champs qu’il fait intervenir. Par ailleurs, indiquer quelle difficulté mathématique particulière soulève la résolution d’un tel système.

• Le milieu fluide est excité harmoniquement à la pulsation $\omega$ ($\omega = \mathrm{Cste} \geq 0$). Nous souhaitons définir à quelle condition l’onde acoustique générée dans ce milieu peut être assimilée à une onde plane harmonique.

Nous écrivons chacun des champs comme la somme d’un champ statique $s_0 = s_0(\mathrm{M})$ (en l’absence d’onde acoustique) et d’un champ dynamique $\delta s = \delta s(\mathrm{M},t)$ associé à la propagation de l’onde acoustique. Ainsi : $\vec v = \vec v_0 + \delta\vec v$ ($\vec v_0 = \vec 0$), $p = p_0 + \delta p$, $\rho = \rho_0 + \delta\rho$ et $T = T_0 + \delta T$. Nous notons $A_s$ ($A_s \geq 0$) l’amplitude de la variable dynamique $\delta s$.

Nous notons $\vec k = k(\omega)\vec u$ ($\|\vec u\| = 1$) le vecteur d’onde associé à la propagation des champs dynamiques. Dans cette partie où il s’agira de raisonner sur des grandeurs caractéristiques, nous considérerons qu’il vérifie la relation de dispersion $\omega^2 = c^2k^2$. La grandeur $c$, positive, désigne la célérité de l’onde dans le milieu considéré.

Dans la suite de cette partie (1), la grandeur $\rho_0$ sera considérée comme étant uniforme dans le milieu (indépendance vis-à-vis du point M).

3. Indiquer à quelle condition le terme (a) de la première équation du système (1) peut être “linéarisé”.

4. Établir à quelle condition le terme (b) de la première équation du système (1) peut être négligé devant le terme (a).

5. Définir à quelle condition la seconde équation du système (1) tend vers une équation linéaire.

6. Nous supposons que l’évolution du milieu associée à la propagation de l’onde est isentropique. Complétons alors le système d’équations (1) en introduisant le coefficient de compressibilité isentropique $\chi_S$ du fluide défini par la relation suivante :

Définir à quelle condition cette relation permet de relier $\delta\rho$ à $\delta p$ dans la limite linéaire. Sous cette condition, donner l’expression de la célérité $c$ (isentropique donc) des ondes acoustiques dans le milieu en fonction de $\rho_0$ et $\chi_{S0}$ ($\chi_{S0} = \chi_S(p_0,T_0)$). Exprimer enfin, en faisant apparaître $c$, la relation liant $\delta p$ à $\delta\rho$.

7. Sous les conditions que nous venons d’établir, le système (1), auquel est adjointe l’équation décrivant la réponse en compressibilité du fluide (équation (2)), permet de relier linéairement les composantes dynamiques des champs. Nous supposons ici que la célérité $c$ peut être considérée comme étant uniforme dans le milieu.

Établir alors à quelle condition, portant sur la pulsation $\omega$, la célérité $c$ et l’accélération de la pesanteur $g$, cette dernière peut être négligée dans ces relations.

8. Nous adoptons les valeurs suivantes : $g = 10\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$, $c_{\mathrm{air}} = 300\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ et $c_{\mathrm{eau}} = 1500\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Traduire numériquement, sur la fréquence $f = \omega/(2\pi)$, la condition établie en réponse à la question (7), dans le cas où le milieu propagatif est de l’air, puis de l’eau. Commenter ces résultats.

9. Nous notons $D$ ($[D] = \mathrm{L^2T^{-1}}$) le coefficient de diffusion thermique du fluide. Par ailleurs, nous supposons que l’onde harmonique plane ($\omega, k = \omega/c$) se propage dans un milieu “infini”.

Établir à quelle condition, portant sur la pulsation $\omega$, la célérité $c$ et le coefficient $D$, l’évolution du fluide induite par l’onde acoustique peut être considérée comme étant adiabatique. On accompagnera le raisonnement tenu d’une argumentation claire, appuyée sur un schéma précisant de quelle manière les échanges thermiques interviennent au sein du fluide.

10. Les coefficients de diffusion thermique de l’air et de l’eau ont pour valeurs respectives $D_{\mathrm{air}} \sim 20\times 10^{-6}\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}$ et $D_{\mathrm{eau}} \sim 0{,}15\times 10^{-6}\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}$ (autour de $p_0 = 10^5\ \mathrm{Pa}$ et $T_0 = 300\ \mathrm{K}$). Traduire numériquement, sur la fréquence $f = \omega/(2\pi)$, la condition établie en réponse à la question (9), dans le cas de l’air puis celui de l’eau. Commenter ces résultats.

11. Dans le cas d’un écoulement compressible, lorsque les effets visqueux sont pris en compte, le second membre de la première équation du système (1) comprend deux termes supplémentaires, linéaires par rapport à la vitesse (dans le cas d’un fluide newtonien). Nous leur associons, collectivement, la grandeur caractéristique $f_{\mathrm{V}}$ se présentant comme le produit d’un coefficient de viscosité dynamique, que nous noterons $\eta$, par une grandeur caractéristique construite sur une dérivée spatiale d’ordre deux de la vitesse.

En comparant $f_{\mathrm{V}}$ au terme (a) de la première équation différentielle du système (1), définir à quelle condition il devient acceptable de considérer l’écoulement induit par l’onde acoustique (onde plane ($\omega, k = \omega/c$)) comme étant parfait, comme nous l’avons supposé a priori dans le texte introduisant le système d’équations différentielles (1). On fera porter cette condition sur la pulsation $\omega$, la célérité $c$ et la viscosité cinématique $\nu = \eta/\rho_0$ du milieu.

12. Écrire numériquement l’inégalité que doit alors vérifier la fréquence $f = \omega/(2\pi)$, dans le cas de l’air ($\nu_{\mathrm{air}} \sim 10^{-5}\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}$) puis celui de l’eau ($\nu_{\mathrm{eau}} \sim 10^{-6}\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}$). Commenter ces résultats.

13. Nous nous plaçons dans l’approximation linéaire et ne prenons pas en compte l’accélération de la pesanteur dans les équations mettant en relation les champs dynamiques.

Nous supposons que la célérité $c$ des ondes acoustiques est une fonction de l’altitude $z$ et qu’elle varie sur une longueur caractéristique $\ell$. Par ailleurs, chacun des champs dynamiques $\delta s$ ($s = \vec v, p, \rho$ ou $T$) varie sur une longueur caractéristique $\lambda$.

Établir à quelle condition, portant sur les longueurs $\ell$ et $\lambda$, la composante $\delta s$ est solution d’une équation de D’Alembert dans laquelle on a simplement remplacé la célérité $c$ (habituellement constante) par la fonction $c = c(z)$.

❐ On ne cherchera pas à établir l’équation différentielle générale vérifiée par $\delta s$, on raisonnera d’emblée sur des grandeurs caractéristiques.

Решение

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Оригинал в Архива: PC_2024.pdf