X-ENS 2024, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 1. Un atome dans un piège optique

ECOLES NORMALES SUPERIEURES · CONCOURS D’ADMISSION 2024 · FILIERE PC - Epreuve n° 7 · PHYSIQUE C (U) · 18 април 2024 г.

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Consignes

JEUDI 18 AVRIL 2024 — 08h00 - 14h00

Durée : 6 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

Début de l’épreuve

Ce sujet comporte 13 pages numérotées de 1 à 13.

Consignes et indications générales
  • On néglige la gravité dans tout le sujet.
  • Aucune question ne fait appel à la mécanique quantique.
  • La justification des réponses et des étapes de raisonnement est prise en compte dans la notation.
  • Pour les questions ouvertes appelant une justification ou une discussion, la longueur de la réponse attendue est entre quelques mots et quelques lignes (mais les réponses plus longues ne sont pas sanctionnées).
  • Il est parfois demandé de vérifier que l’on retrouve une expression déjà obtenue dans une question précédente, ce qui peut aider à détecter et corriger d’éventuelles erreurs.
Notations et conventions
  • (Oxyz)(Oxyz) est un repère orthonormé, fixe dans le référentiel du laboratoire considéré comme un référentiel galiléen. Les vecteurs unitaires associés sont notés (u⃗x,u⃗y,u⃗z)(\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z).
  • Élément de volume : dτ=dx dy dzd\tau = dx\,dy\,dz.
  • Norme d’un vecteur : A=∥A⃗∥A = \|\vec{A}\|.
  • f˙\dot{f} désigne la dérivée temporelle dfdt\dfrac{df}{dt} d’une fonction f(t)f(t), et f¨=d2fdt2\ddot{f} = \dfrac{d^2f}{dt^2}.
  • Pour une fonction f(r⃗)f(\vec{r}) qui ne dépend pas de la direction de r⃗\vec{r}, on pourra noter f(r)f(r) au lieu de f(r⃗)f(\vec{r}).
  • « Positif » signifie « supérieur ou égal à zéro ».
Formulaire

En coordonnées sphériques :

grad→ f=∂f∂r u⃗r+1r ∂f∂θ u⃗θ+1r sin⁡θ ∂f∂φ u⃗φ,div A⃗=1r2 ∂∂r(r2Ar)+1r sin⁡θ ∂∂θ(sin⁡θ  Aθ)+1r sin⁡θ ∂Aφ∂φ.\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{grad}}\, f &= \frac{\partial f}{\partial r}\,\vec{u}_r + \frac{1}{r}\,\frac{\partial f}{\partial \theta}\,\vec{u}_\theta + \frac{1}{r\,\sin\theta}\,\frac{\partial f}{\partial \varphi}\,\vec{u}_\varphi ,\\ \mathrm{div}\,\vec{A} &= \frac{1}{r^2}\,\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 A_r\right) + \frac{1}{r\,\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\; A_\theta\right) + \frac{1}{r\,\sin\theta}\,\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} . \end{aligned}
div(f A⃗)=grad→ f⋅A⃗+f div A⃗\mathrm{div}\left(f\,\vec{A}\right) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\, f \cdot \vec{A} + f\,\mathrm{div}\,\vec{A}
Données numériques

Masse molaire du lithium 6 : M(6Li)=6,02 g⋅mol−1M\left({}^{6}\mathrm{Li}\right) = 6{,}02\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}

Nombre d’Avogadro : NA=6,02×1023 mol−1\mathscr{N}_A = 6{,}02 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}

k=1,02×10−18 kg⋅s−2k = 1{,}02 \times 10^{-18}\ \mathrm{kg\cdot s^{-2}}

σ=60 μm\sigma = 60\ \mu\mathrm{m}

Увод

On appelle « système de particules en interaction » un système composé de NN particules interagissant entre elles. Il peut s’agir par exemple de molécules dans un gaz ou un liquide, d’électrons et d’ions dans un plasma, ou encore d’étoiles dans une galaxie.

D’ordinaire, ces systèmes ont les caractéristiques suivantes. Dès que N>2N > 2, il est impossible d’obtenir des résultats exacts sur l’évolution en fonction du temps des positions des NN particules par des calculs analytiques, c’est-à-dire sans utiliser de simulations numériques. Cependant, lorsque NN est grand, le comportement du système devient plus simple à décrire. Au bout d’un certain temps, le système atteint un état d’équilibre, décrit par la thermodynamique ou la statique des fluides. Ceci est vrai même si le système n’échange pas de chaleur avec son environnement. Pour décrire cet état d’équilibre aux échelles macroscopiques ou mésoscopiques, il suffit de connaître quelques fonctions qui relient entre elles des grandeurs thermodynamiques telles que la pression, la température ou l’énergie interne. La détermination de ces fonctions nécessite de construire des tableaux de données à partir de mesures expérimentales ou de simulations numériques (à la différence d’un gaz parfait, pour lequel ces fonctions ont des expressions connues). De plus, l’évolution d’un fluide en fonction du temps peut être décrite par la mécanique des fluides, qui fait intervenir quelques grandeurs supplémentaires telles que la viscosité dynamique. Ces grandeurs (appelées coefficients de transport) sont des fonctions des grandeurs thermodynamiques, et la détermination de ces fonctions nécessite là encore de construire des tableaux de données à partir d’expériences ou de simulations numériques.

Certains systèmes particuliers de particules en interaction possèdent des propriétés qui font exception à une ou plusieurs des caractéristiques énoncées dans le paragraphe précédent : on qualifiera de telles propriétés de propriétés extraordinaires.

Nous serons amenés à rencontrer de telles propriétés extraordinaires dans les parties 3 et 4. Alors que le système étudié en partie 3 n’a pas à ce jour de réalisation expérimentale, la partie 4 est reliée à des expériences actuelles avec des gaz froids. La partie 1 concerne la réalisation d’un piège optique pouvant servir dans ces expériences. Les parties suivantes sont indépendantes de la partie 1, à l’exception de deux questions où un lien avec la partie 1 sera indiqué dans l’énoncé. La partie 2 concerne un problème à une particule dont l’étude est utile pour les parties 3 et 4.

Условие

Dans cette partie, on considère un atome de masse mm, de vecteur position r⃗=x u⃗x+y u⃗y+z u⃗z\vec{r} = x\,\vec{u}_x + y\,\vec{u}_y + z\,\vec{u}_z. L’atome est soumis à une force conservative F⃗\vec{F}. On note U(r⃗)U(\vec{r}) l’énergie potentielle associée à cette force F⃗\vec{F}.

1) Dans cette question on suppose que UU est de la forme

U(r⃗)=U(r)=U0+12 k r2(1)U(\vec{r}) = U(r) = U_0 + \frac{1}{2}\,k\,r^2 \qquad (1)

où U0U_0 et kk sont des constantes et k>0k > 0. On pose ω=km\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}.

a) Montrer que chacune des fonctions x(t)x(t), y(t)y(t) et z(t)z(t) vérifie une équation différentielle.

b) On note v⃗(0)\vec{v}(0) la vitesse de l’atome à t=0t = 0. Exprimer r⃗(t)\vec{r}(t) en fonction de tt, ω\omega, r⃗(0)\vec{r}(0) et v⃗(0)\vec{v}(0).

Dans la suite de cette partie, on considère que la force F⃗\vec{F} est due à l’effet de faisceaux laser, et on admet que l’énergie potentielle est

U(r⃗)=− γ ⟨∥E⃗(r⃗,t)∥2⟩U(\vec{r}) = -\,\gamma\,\left\langle \|\vec{E}(\vec{r},t)\|^2 \right\rangle

où γ\gamma est une constante strictement positive, E⃗(r⃗,t)\vec{E}(\vec{r},t) est le champ électrique, et ⟨∥E⃗(r⃗,t)∥2⟩\left\langle \|\vec{E}(\vec{r},t)\|^2 \right\rangle désigne la moyenne temporelle (aussi appelée moyenne dans le temps) de ∥E⃗(r⃗,t)∥2\|\vec{E}(\vec{r},t)\|^2 à r⃗\vec{r} fixé.

On utilise simultanément trois faisceaux laser. On admet que les champs électriques associés à chacun des trois faisceaux sont :

E⃗1(r⃗,t)=a(y,z) cos⁡(q x−Ω t+φ1) u⃗yE⃗2(r⃗,t)=a(x,z) cos⁡(q y−Ω t+φ2) u⃗zE⃗3(r⃗,t)=a(x,y) cos⁡(q z−Ω t+φ3) u⃗x\begin{aligned} \vec{E}_1(\vec{r},t) &= a(y,z)\,\cos(q\,x - \Omega\,t + \varphi_1)\,\vec{u}_y \\ \vec{E}_2(\vec{r},t) &= a(x,z)\,\cos(q\,y - \Omega\,t + \varphi_2)\,\vec{u}_z \\ \vec{E}_3(\vec{r},t) &= a(x,y)\,\cos(q\,z - \Omega\,t + \varphi_3)\,\vec{u}_x \end{aligned}

où la fonction aa est définie par

a(X,Y)=E exp⁡(−X2+Y2σ2)a(X,Y) = \mathscr{E}\,\exp\left(-\frac{X^2+Y^2}{\sigma^2}\right)

et où E\mathscr{E}, σ\sigma, qq, Ω\Omega, φ1\varphi_1, φ2\varphi_2 et φ3\varphi_3 sont des paramètres constants, avec E\mathscr{E}, σ\sigma, qq et Ω\Omega strictement positifs (la longueur de Rayleigh n’apparaît pas car elle peut être considérée comme infinie).

2) Pour chacun des trois faisceaux, indiquer la direction et le sens de propagation ainsi que la polarisation de la lumière correspondants.

3) Exprimer U(r⃗)U(\vec{r}) en fonction de xx, yy, zz, γ\gamma, E\mathscr{E} et σ\sigma.

4) Montrer que si r≪σr \ll \sigma, alors

U(r⃗)−U(0⃗)≈12 k r2(2)U(\vec{r}) - U(\vec{0}) \approx \frac{1}{2}\,k\,r^2 \qquad (2)

où l’on exprimera kk en fonction de γ\gamma, E\mathscr{E} et σ\sigma.

5) On considère un atome de lithium 6. On utilisera les données numériques figurant en bas de la page 1, en particulier la valeur de kk.

a) On fait l’hypothèse que pour décrire le mouvement de l’atome, on peut remplacer U(r⃗)U(\vec{r}) par son expression approchée donnée par l’équation (2). Déterminer la valeur numérique de la période du mouvement τ\tau avec un chiffre significatif.

b) En t=0t = 0, l’atome se trouve à l’origine avec une vitesse v(0)=1 cm/sv(0) = 1\ \mathrm{cm/s}. L’hypothèse faite à la question 5a est-elle légitime ?

6) Dans toute cette question, on considère une situation où les polarisations des faisceaux ne sont pas parfaitement contrôlées, tandis que les phases φ1,φ2\varphi_1, \varphi_2 et φ3\varphi_3 sont toujours fixées. Citer un effet qui apparaît alors et qui modifie le résultat obtenu à la question 3. Proposer une modification des caractéristiques des faisceaux permettant d’éliminer cet effet et de retrouver le résultat de la question 3. On pourra répondre brièvement et sans calculs.

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива няма официално решение на тази задача.

Оригинал в Архива: PC_2024_ulm.pdf