Съдържание

IAO 2002, Теория, Група β, руски — Задача 5

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2002

Задачи теоретического тура — Group B · 22 октомври 2002 г.

Примечания к источнику

Ключ ссылается на рисунок к задаче 2, но рисунок не приложен. В решении 2 обсуждается проекционный множитель 2^(1/2), но он пропущен в напечатанной формуле S; формула сохранена. Напечатанная формула B5 V_per·a(1−e)/2 и численные результаты сохранены без исправления.

Условие

Оцените, с какой скоростью $V_G$ движется по своей орбите Марс во время Великих противостояний с Землёй, если Земля движется по своей орбите со скоростью $V_1=29{,}8$ км/с. Эксцентриситеты орбит Земли и Марса равны, соответственно, $e_1=0{,}017$ и $e_2=0{,}093$ , а среднее расстояние от Солнца до Марса равно $a_2=1{,}524$ а.е.

Решение

Используя III закон Кеплера ( $T^2/a^3=\mathrm{const}$ ), можно найти, что для круговой скорости верно следующее соотношение:

V^2\cdot a=\mathrm{const},

поэтому:

V_{\mathrm{circ}}\sim a^{-1/2}.

Это значит, что круговая скорость для Марса ( $V_2$ ) в $1{,}52^{1/2}$ меньше, чем круговая скорость для Земли ( $V_1$ ).

Во время великих противостояний Марс находится вблизи перигелия своей орбиты.

Используя II закон Кеплера, можно написать (для орбит с малыми эксцентриситетами – см. примечание*):

V_{\mathrm{per}}\cdot R_{\mathrm{per}}=V_{\mathrm{circ}}\cdot R_{\mathrm{circ}}.

V_{\mathrm{per}}\cdot R_{\mathrm{circ}}(1-e)=V_{\mathrm{circ}}\cdot R_{\mathrm{circ}},

где $R_{\mathrm{circ}}$ и $V_{\mathrm{circ}}$ – среднее расстояние от Солнца до Марса и его средняя орбитальная скорость.

V_G=V_{\mathrm{per}}=V_{\mathrm{circ}}/(1-e)=V_1/\{1{,}52^{1/2}(1-e)\}\approx26{,}6\ \text{км/с}.

(*) Более точное использование II закона Кеплера:

V_{\mathrm{per}}\cdot a(1-e)/2=\pi ab/T,

где $a$ и $b$ – это полуоси орбиты, $b=a(1-e^2)^{1/2}$ .

В этом случае ответ:

V_G=V_{\mathrm{circ}}\cdot\{(1+e)/(1-e)\}^{1/2}=V_1\cdot\{(1+e)/1{,}52(1-e)\}^{1/2}\approx26{,}5\ \text{км/с}.

Оригинал в Архива: betatheo.jpg · официални решения: commonsol.jpg · допълнителни данни: alphasol.jpg · допълнителни данни: betatheodata.jpg · допълнителни данни: betasol.jpg