Съдържание

Условие Общо въведение към задачите 3 и 4. Небесно знамение Небесно знамение. Две комети Отговори Решение

IAO 2016, Теория, α+β — αβ-3. Небесно знамение. Две комети

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2016

XXI Международная астрономическая олимпиада · XXI International Astronomy Olympiad · Болгария, Пампорово-Смолян, 5 – 13. X. 2016 · Round Theo · Group α, β · 5 октомври 2016 г. · 8 т.

Условие

Общо въведение към задачите 3 и 4. Небесно знамение

На 22 юни 813 г. от н.е. българският хан Крум разбил византийската армия на император Михаил I Рангави при Адрианопол (днес Едирне, Турция) и превзел града. След тази победа българската войска тръгнала към Константинопол и обсадила столицата на Византия. Не е изключено на изхода от тази битка да е повлияло суеверието на военачалниците – страхът от едно астрономическо явление, описано във византийските хроники: „Когато двете армии, българската на северозапад и гръцката на югоизток, се срещнали, страшно небесно явление се явило пред погледа на войниците: две комети, ярки като луни, се отделили една от друга.“ Редица историци на астрономията предполагат, че това е едно от първите описания на разпадане на кометно ядро. Възможни са обаче и други варианти.

Небесно знамение. Две комети

Да си представим две комети, движещи се една след друга точно по една и съща траектория. Да приемем, че орбиталният период на кометите е точно 3 години. Да предположим, че по някое време те встъпват в противостояние за наблюдател на Земята при преминаване през афелия на своята орбита (достигайки средата на астероидния пояс), но техните видими положения при това са толкова близки едно до друго, че за невъоръжено око кометите се сливат в една видима точка. На какво максимално ъглово отстояние една от друга могат да се наблюдават тези комети при преминаването им през перихелия? (Възможно е на такова ъглово разстояние да са се наблюдавали двете комети през юни 813 г.).

Отговори

Решение

Note. The given sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations to students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for 8 pts) may be shorter.

Note. Jury members should evaluate the student’s solutions in essence, and not by looking on formal existence of the mentioned sentences or formulae. The formal presence of the mentioned positions in the text is not necessary to give the respective points. Points should be done if the following steps de facto using these positions.

αβ-3. Небесное предзнаменование. Две кометы. По III закону Кеплера можно вычислить большую полуось орбиты комет. Если периоды мы измеряем в годах, а расстояния в астрономических единицах, то для орбит вокруг Солнца закон записывается как:

T^2/a^3=1.

В нашем случае $T=3$ года, $a=3^{2/3}=2{,}08$ а.е. Будем считать, что середина пояса астероидов, которой достигают кометы в афелии, – это окружность с радиусом равным среднему расстоянию от Цереры до Солнца, $A=2{,}8$ а.е. Тогда в перигелии они находятся от Солнца на расстоянии $P=2a-A=1{,}36$ а.е. Поскольку плоскость пояса астероидов находится примерно в плоскости эклиптики, означает, что и кометы проходят и афелий, и перигелий также примерно в плоскости эклиптики. Также очевидно, что если период обращения комет составляет три года, то будучи в афелии в противостоянии, они и в перигелии также окажутся в противостоянии, совершив полуоборота вокруг Солнца, в то время как Земля совершит полтора оборота.
То, что кометы летят по одной и той же траектории означает, что одна из них в точности повторяет положения другой через некоторый постоянный интервал времени. Соответственно, расстояние $L$ между ними пропорционально их скорости. По II закону Кеплера для положений афелия и перигелия $V_A\cdot A=V_P\cdot P$ . Таким образом

L_A\cdot A=L_P\cdot P.

Во время противостояний угловые расстояния, видимые с Земли:

\alpha=L_A/(A-1)\quad(\text{афелий}),\qquad\beta=L_P/(P-1)\quad(\text{перигелий}).

Если при наблюдении в афелии для невооружённого глаза кометы сливаются в одну видимую точку, значит, они находятся друг от друга на угловом расстоянии меньшем, чем разрешающая способность глаза. Примем, что разрешающая способность глаза равна $\delta=1'$ . Таким образом, $\alpha<\delta$ ,

\beta=L_P/(P-1)=L_A\cdot(A/P)/(P-1)=\alpha\cdot(A/P)\cdot(A-1)/(P-1)\approx10{,}3\alpha<10{,}3\delta\approx10'.

Таким образом, две кометы вполне могли быть на угловом расстоянии в треть диаметра Луны и тем самым поразить воинов.

Basic criteria — αβ-3

№ / Abbreviation	Explanations of grading sub-points	Points
1	$a=3^{2/3}=2.08$ au	1 [overwritten mark]
2	$A=2.8$ au (or 2.77), $P=2a-A=1.36$ au	1
3	Conclusion that comets pass near the ecliptic plane both aphelion and perihelion	1
4	Comets 0.5 revolutions = Earth 1.5 revolutions	1
5	Kepler’s Second Law for the positions of aphelion and perihelion	2
6	Formulae for the angular distances as seen from the Earth	1
7	Correct result	1

Evaluation criteria — Kanchan Chowdhury (IN)

№ / Abbreviation	Explanations of grading sub-points	Points
3.1	$a=3^{2/3}=2.08$ a.u.	2
3.2	Resolving power of eye	1
3.3	Application of Kepler’s 2nd law	2
3.4	Comets 0.5 revolutions = Earth 1.5 revolutions	1
3.5	Use of relevant formulae	1
3.6	Interpretation of result	1

Equivalent correct parts of other ways of solution: 8. Extra conclusions or correct additions (add. to 8 pt): no separate value entered.

Evaluation criteria — Stoian Lucian (Romania)

№ / Abbreviation	Explanations of grading sub-points	Points
1	Paths of comets are one the same elipse; movements of comets obey the laws Kepler; at aphelion comets cannot be seen because of limited resolution of the eye	1
2a	$a=\sqrt[3]{T^2}$ — 0.4; $a=2.08$ AU — 0.2; $A=a_{\mathrm{Ceres}}=2.8$ AU (or 2.7 AU), distance Sun–comets at aphelion	within 4
2b	$P=2a-A$ , distance Sun–comets at perihelion — 0.4; $P=1.36$ AU — 0.2	within 4
2c	$V_A A=V_P P$ (Kepler’s second law) — 0.4; $L_A A=L_P P$ — 0.4	within 4
2d	$α=L_A/(A-1\,\mathrm{AU})$ — 0.4; $β=L_P/(1-1\,\mathrm{AU})$ — 0.4 [denominator written this way on sheet]	within 4
2e	$β=α(A/P)(A-1\,\mathrm{AU})/(P-1\,\mathrm{AU})$ — 0.4; $α<δ$ — 0.2; $δ≈1'\text{–}2'$ , angular resolution for human eye — 0.2	within 4
3	$β=α(A/P)(A-1\,\mathrm{AU})/(P-1\,\mathrm{AU})≈10.3'≈10'$	2
4	For correct picture. Observation: and if missing figure is given but all algebraic calculations are correct	1

Equivalent correct parts of other ways of solution: 8. Extra conclusions or correct additions (add. to 8 pt): no separate value entered. Row 2 is marked 4 points in total; its listed fractional items total 3.2. The unscored aphelion-distance line is retained without an invented score.

Evaluation criteria — Mikhail Kuznetsov (ML)

№ / Abbreviation	Explanations of grading sub-points	Points
1 / III-d Kepler Law	a) $T^2/a^3=1⇒a=2.08≈2.1$ a.u. — 1; b) $T=2πa/V$ , $V=\sqrt{GM/a}$ — 0.5; c) wrong formulae or not used III-d law — 0	1 / 0.5 / 0
2 / q-Perihelion	a) $q=a(1-e)=2a-Q$ with right calcul. — 1; b) some calculation mistake — 0.5; c) wrong formulae or no answer — 0	1 / 0.5 / 0
3 / Q-Aphelion	a) $Q∈[2.5,3.5]$ a.u. — 0.5; b) outside this interval — 0	0.5 / 0
4 / Opposition on perihelion	a) Calculate synodic period or conclude that after 1.5 year comet will be in opposition — 1; b) use q because it is the min distance or without assumptions — 0.5; c) no use q — 0	1 / 0.5 / 0
5 / II-d Kepler Law	a) Correct use — 2; b) use with mistake — 1; c) conclude distance between comets must change — 0.5; d) distance between comets in q and Q not change — 0	2 / 1 / 0.5 / 0
6 / Naked eye	a) Angular resolution in [1′,2′] — 0.5; b) outside interval — 0	0.5 / 0
7 / Angular distance	a) $β_Q=L_Q/(Q-1\,\mathrm{a.u.})$ , $β_q=L_q/(q-1\,\mathrm{a.u.})$ , $β_Q/β_q=q(q-1)/(Q(Q-1))$ [as printed] — 1; b) $α[\mathrm{rad}]=D/L=\arctan(D/L)$ — 0.5; c) no correct or no formulae — 0	1 / 0.5 / 0
8 / Final answer	a) $β_q≈10.3'$ or another correct with $Q∈[2.5,3.5]$ a.u. — 1; b) greater than naked eye limit — 0.5; c) less than naked eye limit — 0	1 / 0.5 / 0

Equivalent correct parts of other ways of solution: 8. Extra conclusions or correct additions (add. to 8 pt): no separate value entered.

Оригинал в Архива: bgtheo.pdf · официални решения: theosol.pdf · допълнителни данни: theo_ru.pdf · допълнителни данни: theocriteria.pdf · допълнителни данни: criteria1.pdf · допълнителни данни: criteria2.pdf · допълнителни данни: criteria3.pdf · допълнителни данни: betatheo1.png · допълнителни данни: betatheo2.png · допълнителни данни: instructions.png · допълнителни данни: data_1.png · допълнителни данни: data_2.png