IAO 2016, Теория, α+β — Задача 3αβ. Небесное предзнаменование. Две кометы.

• $\beta<10{,}3\delta\approx10\prime$

αβ-3. Небесное предзнаменование. Две кометы. По III закону Кеплера можно вычислить большую полуось орбиты комет. Если периоды мы измеряем в годах, а расстояния в астрономических единицах, то для орбит вокруг Солнца закон записывается как:

В нашем случае $T=3$ года, $a=3^{2/3}=2{,}08$ а.е. Будем считать, что середина пояса астероидов, которой достигают кометы в афелии, – это окружность с радиусом равным среднему расстоянию от Цереры до Солнца, $A=2{,}8$ а.е. Тогда в перигелии они находятся от Солнца на расстоянии $P=2a-A=1{,}36$ а.е. Поскольку плоскость пояса астероидов находится примерно в плоскости эклиптики, означает, что и кометы проходят и афелий, и перигелий также примерно в плоскости эклиптики. Также очевидно, что если период обращения комет составляет три года, то будучи в афелии в противостоянии, они и в перигелии также окажутся в противостоянии, совершив полуоборота вокруг Солнца, в то время как Земля совершит полтора оборота.
То, что кометы летят по одной и той же траектории означает, что одна из них в точности повторяет положения другой через некоторый постоянный интервал времени. Соответственно, расстояние $L$ между ними пропорционально их скорости. По II закону Кеплера для положений афелия и перигелия $V_A\cdot A=V_P\cdot P$. Таким образом

Во время противостояний угловые расстояния, видимые с Земли:

Если при наблюдении в афелии для невооружённого глаза кометы сливаются в одну видимую точку, значит, они находятся друг от друга на угловом расстоянии меньшем, чем разрешающая способность глаза. Примем, что разрешающая способность глаза равна $\delta=1'$. Таким образом, $\alpha<\delta$,

Таким образом, две кометы вполне могли быть на угловом расстоянии в треть диаметра Луны и тем самым поразить воинов.