IAO 2016, Теория, α+β — Задача 4αβ. Небесное предзнаменование. Луна и комета.
XXI Международная астрономическая олимпиада · Задачи теоретического тура · 5 октомври 2016 г.
Бележка от източника
Group α
Бележка от източника
Group β
Бележка от източника
Group α β
Общее введение к задачам 3 и 4. Небесное предзнаменование.
22 июня 813 года н.э., после 15 дней стояния друг напротив друга, болгарский хан Крум разбил византийскую армию императора Михаила I Рангави близ Адрианополя (современный Эдирне, Турция) и взял город. После этой победы болгарское войско двинулось на Константинополь и осадило столицу Византии. Не исключено, что на исход битвы повлияло суеверие военачальников, боязнь астрономического события, описанного в византийских хрониках: «Когда две армии, болгарская на северо-западе и греческая на юго-востоке, сошлись, страшное небесное предзнаменование явилось взору воинов: две кометы, яркие как луны, отделились одна от другой». Ряд историков астрономии полагает, что это одно из первых описаний разделения кометного ядра. Однако возможны и другие варианты.
Элементы орбит и физические характеристики планет, некоторых карликовых планет, Солнца и Луны / Parameters of orbits and physical characteristics of planets, some dwarf planets, Sun and Moon
| Небесное тело, планета / Body, planet | Среднее расстояние от центрального тела, в астр. ед. / Average distance to central body, in astr. units | в млн. км / in mln. km | Сидерический период обращения, в тропич. годах / Sidereal (or analogous) period, in tropical years | в средних сутках / in days | Эксцентриситет, e / Eccentricity | Экваториальный диаметр, км / Equat. diameter | Масса, 10²⁴ кг / Mass | Средняя плотность, г/см³ / Av. density | Ускор. своб. пад. у пов., м/с² / Grav. acceler. at surf. | Макс. блеск, вид. с Земли / Max. magn. from Earth | Альбедо / Albedo |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Солнце / Sun | 1,6·10⁹ | 2,5·10¹¹ | 2,2·10⁸ | 8·10¹⁰ | 1392000 | 1989000 | 1,409 | -26,8ᵐ | |||
| Меркурий / Mercury | 0,387 | 57,9 | 0,241 | 87,969 | 0,206 | 4 879 | 0,3302 | 5,43 | 3,70 | -2,2ᵐ | 0,06 |
| Венера / Venus | 0,723 | 108,2 | 0,615 | 224,701 | 0,007 | 12 104 | 4,8690 | 5,24 | 8,87 | -4,7ᵐ | 0,78 |
| Земля / Earth | 1,000 | 149,6 | 1,000 | 365,256 | 0,017 | 12 756 | 5,9742 | 5,515 | 9,81 | 0,36 | |
| Луна / Moon | 0,00257 | 0,38440 | 0,0748 | 27,3217 | 0,055 | 3 475 | 0,0735 | 3,34 | 1,62 | -12,7ᵐ | 0,07 |
| Марс / Mars | 1,524 | 227,9 | 1,880 | 686,980 | 0,093 | 6 794 | 0,6419 | 3,94 | 3,71 | -2,0ᵐ | 0,15 |
| Церера / Ceres | 2,77 | 414 | 4,60 | 1 681 | 0,077 | 963 | 0,0009 | 2,16 | 0,27 | 6,7ᵐ | 0,09 |
| Юпитер / Jupiter | 5,204 | 778,6 | 11,862 | 4 332,59 | 0,048 | 142 984 | 1899,8 | 1,33 | 24,86 | -2,7ᵐ | 0,66 |
| Сатурн / Saturn | 9,584 | 1433,7 | 29,458 | 10 759,20 | 0,054 | 120 536 | 568,50 | 0,70 | 10,41 | 0,7ᵐ | 0,68 |
| Уран / Uranus | 19,191 | 2871,0 | 84,015 | 30 685,93 | 0,046 | 51 118 | 86,625 | 1,30 | 8,44 | 5,5ᵐ | 0,74 |
| Нептун / Neptune | 30,071 | 4498,6 | 164,778 | 60 187,64 | 0,008 | 49 532 | 102,78 | 1,76 | 11,20 | 7,8ᵐ | 0,58 |
| Плутон / Pluto | 39,482 | 5906,4 | 248,09 | 90 613 | 0,249 | 2 374 | 0,0130 | 1,86 | 0,61 | 15,1ᵐ | 0,6 |
| Makemake / Makemake | 45,436 | 5906,4 | 306,28 | 111 867 | 0,163 | 1 502 | 0,003 | 1,70 | 0,40 | 0,77 | |
| Эрида / Eris | 67,668 | 10210 | 557 | 203 500 | 0,441 | 2 326 | 0,0167 | 2,52 | 0,68 | 0,90 |
**) Для внешних планет и Луны – в среднем противостоянии. / For outer planets and Moon – in mean opposition.
Данные о некоторых звёздах / Data of some stars
| Звезда / Star | Обозначение | R.A. | DEC | Расстояние / Distance | Зв. вел. / Mag. | Температура / Temperature | Масса / Mass |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Солнце / Sun | ☉ | 0ʰ–24ʰ | -23°26′–+23°26′ | 1 au | -26ᵐ.74 | 5777 K | 1 M☉ |
| Бетельгейзе / Betelgeuse | α Ori | 05ʰ 55ᵐ 10ˢ | 07° 24′ 25″ | 197 pc | 0ᵐ.5 | 3590 K | 11.6 M☉ |
| Альфа Центавра / Alpha Centauri | α Cen | 14ʰ 39ᵐ 36ˢ | -60° 50′ 07″ | 1.33 pc | -0ᵐ.01 / 1ᵐ.33 | 5810 K / 5260 K | 1.11 M☉ / 0.93 M☉ |
Некоторые константы и формулы / Some constants and formulae
| Величина / Quantity | Значение |
|---|---|
| Скорость света в вакууме, c (м/с) / Speed of light in vacuum | 299 792 458 |
| Гравитационная постоянная, G (Н·м²/кг²) / Constant of gravitation | 6.674·10⁻¹¹ |
| Солнечная постоянная, A (Вт/м²) / Solar constant | 1367 |
| Параметр Хаббла, H₀ (км/с/МПк) / Hubble parameter, mean; range | 68; 50–100 |
| Постоянная Планка, h (Дж·с) / Planck constant | 6.626·10⁻³⁴ |
| Заряд электрона, e (Кл) / Charge of electron | 1.602·10⁻¹⁹ |
| Масса электрона, mₑ (кг) / Mass of electron | 9.109·10⁻³¹ |
| Соотношение масс протона и электрона / Proton-to-electron mass ratio | 1836.15 |
| Постоянная Фарадея, F (Кл/моль) / Faraday constant | 96 485 |
| Магнитная постоянная, μ₀ (Гн/м) / Magnetic constant | 1.257·10⁻⁶ |
| Универсальная газовая постоянная, R (Дж/моль/К) / Universal gas constant | 8.314 |
| Постоянная Больцмана, k (Дж/К) / Boltzmann constant | 1.381·10⁻²³ |
| Постоянная Стефана-Больцмана, σ (Вт/м²/К⁴) / Stefan-Boltzmann constant | 5.670·10⁻⁸ |
| Константа смещения Вина, b (м·К) / Wien’s displacement constant | 0.002897 |
| Лабораторная длина волны Hα (Å) / Laboratory wavelength | 6562.81 |
| Длина тропического года, T (сут) / Tropical year length | 365.242199 |
| Длина сидерического года, T (сут) / Sidereal year length | 365.25636 |
| Длина аномалистического года, T (сут) / Anomalistic year length | 365.259636 |
| Период обращения узлов лунной орбиты (лет) / Nodal period of lunar orbit | -18.6 |
| Стандартная атмосфера (Па) / Standard atmosphere | 101 325 |
| Ослабление видимого света слоем 1 атмосферы (минимально) / Visible light extinction in zenith | 19%, 0.23ᵐ |
| Высота однородной атмосферы (м) / Height of homogeneous atmosphere | 7991 |
| Показатель преломления воды при 20°C, n / Refractive index of water | 1.334 |
| Момент инерции шара / Moment of inertia of a solid ball | I=²⁄₅MR² |
| Момент инерции сферы / Moment of inertia of sphere | I=²⁄₃MR² |
| Объём шара / Volume of a ball | V=⁴⁄₃πR³ |
| Площадь сферы / Area of sphere | S=4πR² |
| π | 3.14159265 |
| e | 2.71828183 |
| Золотое сечение, φ / Golden ratio | 1.61803399 |
Теоретический тур. Предварительные решения. Только для работы жюри
Note. The given sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations to students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for 8 pts) may be shorter.
Note. Jury members should evaluate the student’s solutions in essence, and not by looking on formal existence the mentioned sentences or formulae. The formal presence of the mentioned positions in the text is not necessary to give the respective points. Points should be done if the following steps de facto using these positions.
Условие
Ещё более удивительным, но, тем не менее, возможным объяснением этого явления может быть окончание покрытия яркой кометы Луной в фазе тонкого серпика. Тогда воины могли видеть, как комета выходит из-за освещённой части Луны и два серпа расходятся на небе. В таком случае:
4.1. В какое время суток могло наблюдаться это явление?
4.2. В каком созвездии могло наблюдаться это явление?
4.3. Какую из двух армий предзнаменование напугало больше? Почему?
4.4. Сопроводите решение художественным рисунком воинов перед сражением. Укажите на рисунке необходимые линейные или угловые размеры.
4.5. Вычислите (или объясните, каких данных не хватает для вычисления), в какие из 15 суток стояния армий перед битвой, могло наблюдаться данное явление.
Отговори
- Вечером; созвездие Близнецов; явление могло наблюдаться 7–9 июня 813 года.
- 4.1. Вечером.
- 4.2. В созвездии Близнецов.
- 4.3. Греческая армия видела явление впереди, болгарская – сзади; возможны разные толкования.
- 4.4. Художественный рисунок.
- 4.5. 7–9 июня 813 года.
Решение
αβ-4. Небесное предзнаменование. Луна и комета. Адрианополь находится в северном полушарии, все рассуждения и направления приведены для северного полушария.
4.1. Луна по орбите движется справа налево относительно звёзд и планет. Значит, комета может выходить из-за освещённой части Луны только тогда, когда освещена её правая часть, то есть, при растущей Луне, а значит – вечером.
4.2. Если мы говорим о тонком серпике Луны, сравнимом по яркости с кометой, то возраст Луны – максимум 2,5 суток. Значит Луна находится левее Солнца на расстоянии не более, чем . В период 15-дневного стояния с 7 по 22 июня Солнце находится в созвездии Тельца, а Луна, соответственно – в созвездии Близнецов.
4.3. Предзнаменование произошло на заходе Солнца. Луна в этом случае была на западе или даже северо-западе, поскольку дело происходит в середине лета. Таким образом, византийская армия видела это явление впереди, а болгарская – сзади. Далее рассуждения могут быть различными. В летописях чаще описываются ситуации, когда армия, видя впереди нехороший символ, разворачивалась и отступала. По этой логике напуганными должны были быть греки. Но кто-то может предположить, что больше были напуганы болгарские воины, поскольку это им «нож в спину».
4.4. Художественный рисунок.
4.5. В качестве реперной временной точки возьмём вечер 3 октября 2016 года в Пампорово, когда на небе был виден очень тонкий серпик растущей Луны. Посчитаем, сколько дней прошло с 22 июня 813 года по 3 октября 2016 года.
Найдём, сколько лунных месяцев прошло за это время. Для этого надо это число дней разделить на синодический период Луны. Мы помним, что он примерно равен 29,5 суткам, немного точнее – 29,53 суток.
по дробной части этого числа мы можем узнать разность фаз Луны и получить, что такая же фаза была 17 июня 613 г. Однако это грубая ошибка. Если мы берем синодический период Луны равным 29,53 суток, то погрешность составляет 0,005 суток на один лунный месяц. Умножив число прошедших месяцев на эту погрешность, получаем общую погрешность в суток. Таким образом, такой серпик был виден 16 июня плюс-минус 74 дня.
Для получения ответа с точностью хотя бы один день, мы должны уменьшить погрешность синодического периода хотя бы на два порядка, то есть, использовать значение с ещё хотя бы двумя значащими цифрами.
Это возможно. В таблицах у нас есть период обращения Луны с шестью значащими цифрами и длина сидерического года с восемью значащими цифрами. Используя эти данные можно найти синодический период Луны с шестью значащими цифрами:
С учётом этой точности
по дробной части этого числа мы понимаем, что 22 июня фаза Луны была близка к полнолунию, а описанный серпик мог быть виден за 13,9 суток (плюс-минус ¾ суток) до 22 июня. То есть, получается, что явление наблюдалось на небе 7-9 июня, то есть, в самом начале стояния.
Бележка от източника
Задачи 3, 4, 5 – см. стр. 2.
Problems 3, 4, 5 – see page 2.
Бележка от източника
Задачи 3, 4, 5 – см. стр. 2.
Problems 3, 4, 5 – see page 2.
Теми и трудност
Оценена трудност: 5/5.
Слънчева система · Небесна сфера и сферична астрономия · Лунни фази и видимост · Планетни конфигурации · Небесни координати
Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка
Оригинал в Архива: theo_ru.pdf · официални решения: theosol.pdf · допълнителни данни: data_1.png · допълнителни данни: data_2.png