Съдържание

IAO 2016, Теория, Група β — Задача 1. Dyson sphere.

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2016

XXI International Astronomy Olympiad — Theoretical round · 5 октомври 2016 г. · 8 т.

Read once more before you start your work

General note. Maybe not all problems have correct questions. Some questions (maybe the main question of the problem, maybe one of the subquestions) may make no real sense. In this case you have to write in your answer (in English or Russian): «impossible situation – ситуация невозможна». Of course, this answer has to be explained numerically or logically.

Data from the tables (Planetary data, stars, constants, etc.) may be used for solving every problem.

The answers «Да-Yes» or «Нет-No» have to be written in English or Russian.

Do not forget that in clean copy you should write solutions only on even (left) pages. The odd (right) pages will be used by your team leader to translate solutions into English and make emphasizing of your thoughts in solutions.

EVEN PAGE / ЧЁТНАЯ СТРАНИЦА	ODD PAGE / НЕЧЁТНАЯ СТРАНИЦА
Текст решения. Text of solution. Текст решения. Text of solution. Текст решения. Text of solution.	×

Ещё раз прочитайте перед началом работы

Общее замечание. Не исключено, что не во всех задачах вопросы поставлены корректно. Некоторые вопросы (возможно, главный вопрос задачи, возможно – подвопрос) могут не иметь смысла. В этом случае следует написать в ответе (по-русски или по-английски): «ситуация невозможна – impossible situation». Естественно, ответ должен быть подкреплён вычислениями или логическими рассуждениями.

Данные из таблиц (Солнечная система, звёзды, константы) могут быть использованы в любой задаче.

Ответы «Да-Yes» или «Нет-No» должны быть написаны по-русски или по-английски.

Не забудьте, что в чистовике вы должны писать решения только на чётных (левых) страницах. Нечётные (правые) страницы предназначены для того, чтобы руководитель вашей команды перевёл решения на английский язык и подчеркнул основные мысли решения.

Common introduction for problems 3 and 4. Heaven omen.

On June 22, 813 A.D., after 15 days of standing opposite to each other, Bulgarian Khan Krum defeated the Byzantine army of Emperor Michael I Rhangabe near Adrianople (currently Edirne, Turkey) and took over the city. After this victory, the Bulgarian army marched on Constantinople and besieged the capital of the Byzantine Empire. It is possible that the outcome of the battle was affected by superstitious generals. Fear of astronomical events is described in the Byzantine chronicles: “When the two armies, Bulgarian in north-west and Greek in south-east, converged, a terrible celestial omen was the gaze of warriors: two comets, bright as moons, separated from one another”. Some historians of astronomy believe that it is one of the first descriptions of a cometary nucleus fragmentation. However, there are also other options.

Элементы орбит и физические характеристики планет, некоторых карликовых планет, Солнца и Луны / Parameters of orbits and physical characteristics of planets, some dwarf planets, Sun and Moon

Небесное тело, планета / Body, planet	Среднее расстояние от центрального тела, в астр. ед. / Average distance to central body, in astr. units	в млн. км / in mln. km	Сидерический период обращения, в тропич. годах / Sidereal (or analogous) period, in tropical years	в средних сутках / in days	Эксцентриситет, e / Eccentricity	Экваториальный диаметр, км / Equat. diameter	Масса, 10²⁴ кг / Mass	Средняя плотность, г/см³ / Av. density	Ускор. своб. пад. у пов., м/с² / Grav. acceler. at surf.	Макс. блеск, вид. с Земли / Max. magn. from Earth	Альбедо / Albedo
Солнце / Sun	1,6·10⁹	2,5·10¹¹	2,2·10⁸	8·10¹⁰		1392000	1989000	1,409		-26,8ᵐ
Меркурий / Mercury	0,387	57,9	0,241	87,969	0,206	4 879	0,3302	5,43	3,70	-2,2ᵐ	0,06
Венера / Venus	0,723	108,2	0,615	224,701	0,007	12 104	4,8690	5,24	8,87	-4,7ᵐ	0,78
Земля / Earth	1,000	149,6	1,000	365,256	0,017	12 756	5,9742	5,515	9,81		0,36
Луна / Moon	0,00257	0,38440	0,0748	27,3217	0,055	3 475	0,0735	3,34	1,62	-12,7ᵐ	0,07
Марс / Mars	1,524	227,9	1,880	686,980	0,093	6 794	0,6419	3,94	3,71	-2,0ᵐ	0,15
Церера / Ceres	2,77	414	4,60	1 681	0,077	963	0,0009	2,16	0,27	6,7ᵐ	0,09
Юпитер / Jupiter	5,204	778,6	11,862	4 332,59	0,048	142 984	1899,8	1,33	24,86	-2,7ᵐ	0,66
Сатурн / Saturn	9,584	1433,7	29,458	10 759,20	0,054	120 536	568,50	0,70	10,41	0,7ᵐ	0,68
Уран / Uranus	19,191	2871,0	84,015	30 685,93	0,046	51 118	86,625	1,30	8,44	5,5ᵐ	0,74
Нептун / Neptune	30,071	4498,6	164,778	60 187,64	0,008	49 532	102,78	1,76	11,20	7,8ᵐ	0,58
Плутон / Pluto	39,482	5906,4	248,09	90 613	0,249	2 374	0,0130	1,86	0,61	15,1ᵐ	0,6
Makemake / Makemake	45,436	5906,4	306,28	111 867	0,163	1 502	0,003	1,70	0,40		0,77
Эрида / Eris	67,668	10210	557	203 500	0,441	2 326	0,0167	2,52	0,68		0,90

**) Для внешних планет и Луны – в среднем противостоянии. / For outer planets and Moon – in mean opposition.

Данные о некоторых звёздах / Data of some stars

Звезда / Star	Обозначение	R.A.	DEC	Расстояние / Distance	Зв. вел. / Mag.	Температура / Temperature	Масса / Mass
Солнце / Sun	☉	0ʰ–24ʰ	-23°26′–+23°26′	1 au	-26ᵐ.74	5777 K	1 M☉
Бетельгейзе / Betelgeuse	α Ori	05ʰ 55ᵐ 10ˢ	07° 24′ 25″	197 pc	0ᵐ.5	3590 K	11.6 M☉
Альфа Центавра / Alpha Centauri	α Cen	14ʰ 39ᵐ 36ˢ	-60° 50′ 07″	1.33 pc	-0ᵐ.01 / 1ᵐ.33	5810 K / 5260 K	1.11 M☉ / 0.93 M☉

Некоторые константы и формулы / Some constants and formulae

Величина / Quantity	Значение
Скорость света в вакууме, c (м/с) / Speed of light in vacuum	299 792 458
Гравитационная постоянная, G (Н·м²/кг²) / Constant of gravitation	6.674·10⁻¹¹
Солнечная постоянная, A (Вт/м²) / Solar constant	1367
Параметр Хаббла, H₀ (км/с/МПк) / Hubble parameter, mean; range	68; 50–100
Постоянная Планка, h (Дж·с) / Planck constant	6.626·10⁻³⁴
Заряд электрона, e (Кл) / Charge of electron	1.602·10⁻¹⁹
Масса электрона, mₑ (кг) / Mass of electron	9.109·10⁻³¹
Соотношение масс протона и электрона / Proton-to-electron mass ratio	1836.15
Постоянная Фарадея, F (Кл/моль) / Faraday constant	96 485
Магнитная постоянная, μ₀ (Гн/м) / Magnetic constant	1.257·10⁻⁶
Универсальная газовая постоянная, R (Дж/моль/К) / Universal gas constant	8.314
Постоянная Больцмана, k (Дж/К) / Boltzmann constant	1.381·10⁻²³
Постоянная Стефана-Больцмана, σ (Вт/м²/К⁴) / Stefan-Boltzmann constant	5.670·10⁻⁸
Константа смещения Вина, b (м·К) / Wien’s displacement constant	0.002897
Лабораторная длина волны Hα (Å) / Laboratory wavelength	6562.81
Длина тропического года, T (сут) / Tropical year length	365.242199
Длина сидерического года, T (сут) / Sidereal year length	365.25636
Длина аномалистического года, T (сут) / Anomalistic year length	365.259636
Период обращения узлов лунной орбиты (лет) / Nodal period of lunar orbit	-18.6
Стандартная атмосфера (Па) / Standard atmosphere	101 325
Ослабление видимого света слоем 1 атмосферы (минимально) / Visible light extinction in zenith	19%, 0.23ᵐ
Высота однородной атмосферы (м) / Height of homogeneous atmosphere	7991
Показатель преломления воды при 20°C, n / Refractive index of water	1.334
Момент инерции шара / Moment of inertia of a solid ball	I=²⁄₅MR²
Момент инерции сферы / Moment of inertia of sphere	I=²⁄₃MR²
Объём шара / Volume of a ball	V=⁴⁄₃πR³
Площадь сферы / Area of sphere	S=4πR²
π	3.14159265
e	2.71828183
Золотое сечение, φ / Golden ratio	1.61803399

Official solution and grading sources

The official preliminary solution is retained in its original Russian; English general and applicable beta or joint alpha/beta jury criteria are provided separately. Alpha-only grading sheets are excluded.

Source limitations

The official PDF ends after the second factor in solution 5. Its solution 2 graph is clipped at the original page boundary. The printed dates “17 июня 613 г.” and “16 июня” in solution 4.5 are retained, as are the inconsistent sub-point allocations in general criteria 4.1 and 4.2.

Теоретический тур. Предварительные решения. Только для работы жюри

Note. The given sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations to students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for 8 pts) may be shorter.

Note. Jury members should evaluate the student’s solutions in essence, and not by looking on formal existence the mentioned sentences or formulae. The formal presence of the mentioned positions in the text is not necessary to give the respective points. Points should be done if the following steps de facto using these positions.

Условие

There is a fantastic hypothesis that Betelgeuse is not a red supergiant, but an artificial construction, Dyson sphere, made by a super-high-temperature civilization around their star. Naturally, the radius of the constructed sphere was the same as the previous orbital radius of their former planet. Estimate the orbital period of their former planet.

Решение

β-1. Сфера Дайсона. Как известно, период обращения планеты по круговой орбите вокруг звезды зависит только от массы звезды. Поэтому совершенно не важно, какой размер изначально имела звезда. Выведем формулу для нахождения этого периода для крайнего случая, когда радиус орбиты равен радиусу звезды $R$ :

\tau=2\pi/\omega,\quad\omega^2\cdot R=GM/R^2,\quad\omega^2=GM/R^3=4/3\pi G\rho,\quad\tau=(3\pi/G\rho)^{1/2}.

Таким образом, период зависит только от плотности шара, непосредственно вдоль поверхности которого происходит круговое движение, а в нашем случае – от плотности нынешней Бетельгейзе.
Все необходимые данные берём из таблиц. Бетельгейзе имеет звёздную величину $0{,}5^m$ и находится от нас на расстоянии

D_B=206265\text{ а.е./пк}\times197\text{ пк}\approx40\ 600\ 000\text{ а.е.}

При удалении на такое расстояние Солнце имело бы звёздную величину

m_1=-26{,}74^m+5^m\lg40\ 600\ 000\approx-26{,}74^m+38{,}04^m\approx11{,}30^m.

Таким образом, разница абсолютных звёздных величин Солнца и Бетельгейзе составит

\Delta m=11{,}3^m-0{,}5^m=10{,}8^m.

Это значит, что светимость Бетельгейзе $L_B$ больше светимости Солнца $L_0$ в

L_B/L_0=100^{10{,}8/5}\approx21000\text{ раз.}

Светимость звезды $L$ пропорциональна площади её поверхности и четвёртой степени температуры поверхности, то есть, $L\sim R^2T^4$ . Плотность звезды равна её массе, делённой на объём, то есть, пропорциональна $M/R^3$ . Таким образом, $\rho\sim MT^6/L^{3/2}$ . Соотношение масс Бетельгейзе и Солнца, их температуры можно найти из таблицы звёзд, 11,6, 3590 К и 5777 К соответственно. Сравнивая плотности Бетельгейзе и Солнца (из таблицы Слнечной Системы $\rho_0\approx1410\ \text{кг}/\text{м}^3$ ), получаем плотность Бетельгейзе

\rho_B=\rho_0\cdot(M_B/M_0)\cdot(T_B/T_0)^6\cdot(L_B/L_0)^{-3/2}\approx3{,}1\cdot10^{-4}\ \text{кг}/\text{м}^3.

В нашем случае

\tau=(3\pi/G)^{1/2}\cdot\rho_0^{-1/2}\cdot(M_B/M_0)^{-1/2}\cdot(T_B/T_0)^{-3}\cdot(L_B/L_0)^{3/4}\approx2{,}13\cdot10^7\text{ с}\approx247\text{ сут.}

Однако, задача оценочная, поэтому точность возможна не более чем в две значащие цифры и в ответе неуместна, правильный ответ: около 250 суток.

Basic criteria — β-1

№ / Abbreviation	Explanations of grading sub-points	Points
1	Initial size of the star does not matter (period depends on the mass)	1
2	Period depends on the density of the modern Betelgeuse	1
3	Using difference in luminosities	2
4	Using irradiation law	1
5	Finding the density of the modern Betelgeuse	1
6	Finding orbital period	1
7	Correct accuracy in the answer (not more 2 significant digits)	1

Evaluation criteria — Ota Kéhar (CZ), β1

№ / Abbreviation	Explanations of grading sub-points	Points
1	I do not use “Initial size of the star does not matter”, because nobody of participant using this way	0
2	I do not use “Period depends on density…” because nobody was using	0
3 / a	I use “Using difference in luminosities”	2
4 / b	I use “Using irradiation law”	1
5	I do not use “Finding the density…” because nobody was using	0
6 / c	I use “Finding radius of Betelgeuse”	2
7 / d	I use “Using 3rd Kepler’s Law for period”	1
8 / e	I use “Finding orbital period”	1
9 / f	I use “Correct accuracy in the answer (not more 2 significant digits)”	1

Equivalent correct parts of other ways of solution: 8. Extra conclusions or correct additions (add. to 8 pt).

Оригинал в Архива: betatheo1.png · официални решения: theosol.pdf · допълнителни данни: betatheo2.png · допълнителни данни: instructions.png · допълнителни данни: data_1.png · допълнителни данни: data_2.png · допълнителни данни: theocriteria.pdf · допълнителни данни: criteria1.pdf · допълнителни данни: criteria2.pdf · допълнителни данни: criteria3.pdf